LIVRE II

différence est insensible lorsque n est un grand nombre. Cela posé, considérons dans l'intégrale ^/U (l\). sjn le terme

En étendant l'intégrale depuis p. = — 00 jusqu'à p, = c» , ce terme devient

Le facteur i - ^ + -i__LJ ... est égal à (i - i)'; il est donc nul, excepté dans le cas de ? = o, où il se réduit à l'unité. Il est visible que les termes de l'expression de U qui renferment des puissances impaires de (y, donnent un résultat nul dans l'intégrale |/U^(jLv/n, étendue depuis {;.== — GO jusqu'à (A = GO ; car ces termes ont pour facteur c-^\ et l'on a généralement dans ces limites

Il n'y a donc que le premier terme de l'expression de U, terme que nous représenterons par Hc-!^\ qui puisse donner un résultat dans l'intégrale i/Ut/jy^v^, et ce résultat est ^HV^; on a donc

^H sjmz ■=■- 1; par conséquent,

sjn-n L'expression générale de U a ainsi la forme suivante

Q^'^Qf'^ ...,U'W\ ... étant des constantes indéterminées, qui dépendent de la valeur initiale de U.

OEuvres de L. — VU. «o

Supposons que U devienne X lorsque r est nul, X étant une fonction donnée de \l. On a généralement ces deux théorèmes,

lorsque ^est moindre que «; U, et U- étant des fonctions de y., par les-

Quelles --^brr et -^^ sont multipliés dans l'expression de U.

Pour démontrer ces théorèmes, nous observerons que, par ce qui précède, -^-p= — ' est égal à •

il faut donc faire voir que l'on a

o =ff(x'^ids dix c-i^'-^'([JL + s {—\f\

les intégrales étant prises depuis [j. et s égaux à — co jusqu'à ;x et s égaux à -h X) . En intégrant d'abord par rapport à [x, ce terme devient

^^-=^ fjix^t-'- d^ ds c-^'-s'{^ H- s s/^Y'