LIVRE II

En égalant entre eux les termes affectés du signe /, on aura l'équation aux différentielles partielles

dr ^ àt

Le terme hors du signe /, égalé à zéro, donnera, pour l'équation aux

limites de l'intégrale,

o =z to c~y-^.

L'intégrale de l'équation précédente aux différentielles partielles de 9 est

^ / J\ étant une fonction arbitraire de ^; on a donc

Soit

l'expression de U prendra cette forme

II est facile de voir que l'équation précédente, aux limites de l'intégrale, exige que les limites de l'intégrale relative à s soient prises depuis 5 = — 30 jusqu'à 5 = co . En prenant le radical \/ - i avec le signe —, on aurait pour U une expression de cette forme

u = e-.-/rf..-nf--t-t/=l),

la fonction arbitraire H{s) pouvant être différente de T{s). La somme de ces deux expressions de U sera sa valeur complète. Mais il est facile de s'assurer que, les intégrales étant prises depuis s = — ce jusqu'à s = co , l'addition de cette nouvelle expression de U n'ajoute rien à la généralité de la première, dans laquelle elle est comprise.

Développons maintenant le second membre de l'équation (A), suivant les puissances de -^7» et considérons un des termes de ce développement, tel que

fiisc -^'{s — u \^-

ce terme devient, après les intégrations.

(considérons encore un terme de ce développement, relatif aux puissances impaires de -^.^y,, tel que

Ce terme devient, après les intégrations,

On aura donc ainsi l'expression générale de la probabilité U, développée dans une série ordonnée suivant les puissances de -^,,'> série qui devient très «onvergente lorsque r' est un nombre considérable. Cette expression doit être telle que f{]da; ou ^fUdu.s^fn soit égale à l'unité, les intégrales étant étendues à toutes les valeurs de 00 et de [x, c'està-dire depuis ce nul jusqu'à œ = n, et depuis ^a = ~\/n jusqu'à jx = \/n ; car il est certain que, l'une des valeurs de 00 devant avoir lieu, la somme des probabilités de toutes ces valeurs doit être égale à l'unité. En prenant l'intégrale /c~^V[x dans les limites de (x, on a le même résultat, à très peu près, qu'en la prenant depuis [a = — oo jusqu'à

[J. = 00 ; la différence n'est que de l'ordre —-? et vu l'extrême rapidité

avec laquelle c~" diminue à mesure que n augmente, on voit que cette