LIVRE II

que i, toutes les puissances de \j. dans U/ sont moindres que Q.i'', chacun des termes de U, donnera donc, par ce qui précède, un résultat nul dans l'intégrale /U,U,'f/{y.c~!*'. Le même raisonnement a lieu pour l'intégrale S\]\\}',d]j.(r^\

Mais ces intégrales ne sont pas nulles, lorsque i = i' . On les obtiendra dans ce cas de cette manière. On a, par ce qui précède,

1 . 3 . 5 . . . ( 2 / — I ) V'tt Le terme qui a pour facteur ]j?^ dans cette expression est

or on peut ne considérer que ce terme dans le premier facteur U, de l'intégrale J\]i\]id]j.c~^^\ car les puissances inférieures de [x, dans ce facteur, donnent un résultat nul dans l'intégrale. On a donc

/ U, U, rf^ c-^'- = — ^'[ -—^ ffu.^'^ du. ds c-^'-s'ii. + . s/^if.

[l .3.5. . .(2? — l)]2 y/TT

On a, en intégrant par rapport à [t., depuis ja = — oo jusqu'à ^. — ^ , fflJ.^'diJ. ds c-\''~s'{(x -i- s v'-T)"'

-- ffix^'-^ dix ds c-H-'-^' (// + s y/- iy"

+ — //f^"-' dix ds c-\>-'-^'iix + 5 V-T)''-' .

Le premier terme du second membre de cette équation est nul par ce qui précède; ce membre se réduit donc à son second terme. On trouve de la même manière que l'on a

//^2'-' d[X ds c-!^'-'(p 4- . s/-\Y'-'

et ainsi de suite; on a donc

SSl^-^di. ds rf-' (^ + 5 v'- . Y' ■= L:^-^

.IITZ

par conséquent,

On trouvera de la même manière

On a évidemment

dans le cas même où i et i! sont égaux, parce que le produit U,U-. ne contient que des puissances impaires de ]j..

Gela posé, l'expression générale de U donne, pour sa valeur initiale, que nous avons désignée par X,

Si l'on multiplie cette équation par U,fi?[^., et si l'on prend les intégrales depuis jx = — ao jusqu'à [x = oo , on aura, en vertu des théorèmes précédents.

d'où l'on tire

on trouvera, de la même manière,