LIVRE II

prend une forme très simple. Alors la fonction arbitraire r(l~^^~i j

de la formule (A) est de la forme kc~\ "'" / . Pour déterminer les constantes ê et k, nous observerons qu'en supposant

on aura

En faisant ensuite

et observant que l'intégrale relative à s devant être prise depuis 5 = — GO jusqu'à ^ = X) , l'intégrale relative à s' doit être prise dans les mêmes limites, on aura

k Jtc - -^,

En comparant cette expression à la valeur initiale de U, qui est et observant que ê est la valeur initiale de ê', on aura

d'où l'on tire

On doit avoir ensuite

k s/rc 2 ï

y/i + ê y/nTT

valeur que l'on obtient encore par la condition que ^/U </ji, y//i = i , l'in-

tégrale étant prise depuis (7- = — oo jusqu'à (;, r= oo ; on aura donc, pour l'expression de U, quel que soit r' ,

On trouve, en effet, que cette valeur de U, substituée dans l'équation aux différentielles partielles en U, y satisfait.

ê' diminuant sans cesse quand f augmente, la valeur de U varie sans cesse et devient à sa limite, lorsque f est infini,

Pour donner une application de ces formules, imaginons, dans une urne C, un très grand nombre m de boules blanches et un pareil nombre de boules noires. Ces boules ayant été mêlées, supposons que l'on tire de l'urne n boules, que l'on met dans l'urne A. Supposons ensuite que l'on mette dans l'urne B autant de boules blanches qu'il y a de boules noires dans l'urne A, et autant de boules noires qu'il y a de boules blanches dans la même urne. Il est clair que le nombre des cas dans lesquels il y aura x boules blanches, et par conséquent n — x boules noires dans l'urne A, est égal au produit du nombre des combinaisons des m boules blanches de l'urne C, prises x à x, par le nombre des combinaisons des m boules noires de la même urne, prises n — .r à n — X. Ce produit est, par le n° 3, égal à

ou à

i.2.3...^.i.2.3...(n — ^). 1.2. 3... (m — x). 1.2. 3... (m — nH-.r)'

Le nombre de tous les cas possibles est le nombre des combinaisons des 2m boules de l'urne C, prises nhn; ce nombre est