LIVRE

en faisant donc

la fonction (u) devient

Ainsi, en nommant, comme ci-dessus, ia l'intervalle compris entre les limites des erreurs de chaque observation, la probabilité que la somme des erreurs des s observations sera comprise dans les limites

'fj'"'"

Si <p ( - j est constant, alors rr, = 6, et cette probabilité devient

2t/— fdrc ^ ,

ce qui est conforme à ce que l'on a trouvé ci-dessus.

Si 9 (-) ou <p(^'') est une fonction rationnelle et entière de x' y on

aura, par la méthode du n° 15, la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites ± arsjs, exprimée par une suite de puissances^, 2.S, ... de quantités de la former — jx zh r^Js, dans lesquelles (j.augmenteen progression arithmétique, ces quantités étant continuées jusqu'à ce qu'elles deviennent négatives. En comparant cette suite à l'expression précédente de la même probabilité, on obtiendra d'une manière fort approchée la valeur de la suite, et l'on parviendra ainsi sur ce genre de suites à des théorèmes analogues à ceux que nous avons donnés dans le n° 42 du Livre P', sur les différences finies des puissances d'une variable.

Si la loi de facilité des erreurs est exprimée par une exponentielle négative qui puisse s'étendre jusqu'à l'infini, et généralement si les erreurs peuvent s'étendre à l'infini, alors a devient infini, et l'applica-

OEuvres de L. — \\\. 40

tion de la méthode précédente peut offrir quelques difficultés. Dans tous ces cas, on fera

h étant une quantité quelconque finie, et en suivant exactement l'analyse précédente, on trouvera, pour la probabilité que la somme des erreurs des s observations est comprise dans les limites ± hr\Js,

Pi/'''-'-'""'

expression dans laquelle on doit observer que 9(7-) ou o(.x') exprime la probabilité de l'erreur ± x, et que l'on a

/, --■=-- ijdx 9 ( x' ) , /, " = / x' 2 dx' 9 ( .r ' ) , les intégrales étant prises depuis ic'= o jusqu'à ^' = co .

19. Déterminons présentement la probabilité que la somme des erreurs d'un très grand nombre d'observations sera comprise dans des limites données, abstraction faite du signe de ces erreurs, c'est-à-dire, en les prenant toutes positivement. Pour cela, considérons la suite

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