LIVRE II

signe, est l -h ^.s- cette prohabilité est donc

l'intégrale relative à cr étant prise depuis m = ~ t: jusqu'à r? = t.; car, dans cet intervalle, l'intégrale f d^c-''^^^ ' ou

y<iro(cosrcî — ^— i sinrcr)

disparaît, quel que soit /•, pourvu qu'il ne soit pas nul. On a, en développant par rapport aux puissances de w,

log c-l^suys/-\ (p /^\ , 2<j) Ji-j c^v'^+. . .-4- 2(p (-) c"^/^

En faisant donc

fi — ' ' ~ .j '

on a

ifdx' (^[X') = k, fx'dx'<^{x')=k', fx'^dx'(f{x')=:k\

fx'^dx'(f{x')=:h"', fx'^dx'cf[x') = k^\ ,

les intégrales étant prises depuis x' nul jusqu'à x'=i; le second membre de l'équation (i) devient

5log/iA +5log( n- — ncy^— I - j-n^-js^~ ... J — u^crs/— i. L'erreur de chaque observation devant tomber nécessairement dans les

limites ± n, on a nk= i; la quantité précédente devient ainsi

k' ix\ /- ^ ikk"—'îk'^)sn'^m^'

'iT-nj'^^^-' k^

en faisant donc

et négligeant les puissances de nr supérieures au carré, cette quantité se réduit à son second terme, et la probabilité précédente devient

— dxsc

Soient

k St l r

sjkk"-ik'^ ns/s »

L'intégrale précédente devient

Cette intégrale doit être prise depuis / = — ao jusqu'à t = x> , et alors la quantité précédente devient

7.sjTzn\Js En la multipliant par i/ou par ndrsj s, l'intégrale

-^S&drc' '

sera la demi-probabilité que la valeur de /, et, par conséquent, la somme des erreurs des observations, est comprise dans les limites

~-as± arsjs, — a étant les limites des erreurs de chaque observation,

limites que nous désignons par ± n, quand nous les concevons partagées dans une infinité de parties.