LIVRE IL

On voit ainsi que la somme des erreurs la plus probable, abstraction faite du signe, est celle qui répond à r= o. Cette somme est -^ as. Dans le cas où (p (x) est constant, ^ = ^; la somme des erreurs la plus probable est donc alors la moitié de la plus grande somme possible,

somme qui est égale à sa. Mais, si (p(a;) n'est pas constant et diminue à

o h' mesure que l'erreur x augmente, alors ~ est moindre que ^, et la

somme des erreurs, abstraction faite du signe, est au-dessous de la moitié de la plus grande somme possible.

On peut, par la même analyse, déterminer la probabilité que la somme des carrés des erreurs sera / ^- [x^ ; il est facile de voir que cette probabilité a pour expression l'intégrale

prise depuis ci = — x jusqu'à cy= x. En suivant exactement l'analyse précédente, on aura

et en faisant

sjkk'''-2k"^

la probabilité que la somme des carrés des erreurs des s observations

sera comprise dans les limites -tt^^^ ~ a^r\/s sera

f&drc *

La somme la plus probable est celle qui répond à rnul; elle est donc

VJla'^s. Si s est un très grand nombre, le résultat des observations

s'écartera très peu de cette valeur, et par conséquent il fera connaître

aïjf" à très peu près le facteur — r—*

20. Lorsque l'on veut corriger un élément déjà connu à fort peu près, par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, on forme des équations de condition de la manière suivante. Soient s la correction de l'élément, et g l'observation ; l'expression analytique de celle-ci sera une fonction de l'élément. En y substituant, au lieu de l'élément, sa valeur approchée, plus la correction z; en réduisant en série par rapport à z et négligeant le carré de z, cette fonction prendra la forme h -\-pz; en l'égalant à la quantité observée ê, on aura

S = h -h pz.

z serait donc déterminé, si l'observation était rigoureuse; mais, comme elle est susceptible d'erreur, en nommant t cotte erreur, on a exactement, aux quantités près de l'ordre z'^,

et en faisant ê — A = a, on a

fc = /?z — a.

Chaque observation fournit une équation semblable, que l'on peut représenter pour l'observation (« -h if""^^ par celle-ci

En réunissant toutes ces équations, on a ^

(i) Se(') = 2Syt>(''^ — Sa('^

le signe S se rapportant à toutes les valeurs de î, depuis i= o jusqu'il i=s — i, s étant le nombre total des observations. En supposant nulle la somme des erreurs, cette équation donne

SoÇO ^ ~ S/^c) '

c'est ce que l'on nomme ordinairement résultat moyen des obsen'a-

tions.

On a vu, dans le n*" 18, que la probabilité que la somme des er-