LIVRE II

l'unité, on a «^a?'— -, on aura

/?(-) =ciSdx'^[x').

Nommons, comme dans les numéros précédents, k l'intégrale 2fdx'(p{x-'), prise depuis^' nul jusqu'à sa valeur positive extrême; nommons pareillement k" l'intégrale fx'^ dx', prise dans les mêmes limites, et ainsi de suite; nous aurons

( x\ ( h" /fiv

Le logarithme du second membre de cette équation est

k" khy^Q]f"2 — X '^'^'^' "^ p m''a^rs'' — . . . + logaA";

ak ou 2afdx'(^{x') exprime la probabilité que l'erreur de chaque observation sera comprise dans ses limites, ce qui est certain; on a donc ak = î; ce qui réduit le logarithme précédent à

De là il est aisé de conclure que le produit

est

/ kk^-'-&k"^ ^ ^.^, \ --^'«^n^sw'>

l'intégrale précédente {i) se réduit donc à En faisant ra-cr^ = t\ cette intégrale devient

QEucres de L. — VU,

Sm^'J^, Sm^'^\ ... sont évidemment des quantités de l'ordre s; ainsi -^^V- est de Tordre -; en négligeant donc les termes de ce dernier ordre vis-à-vis de l'unité, la dernière intégrale se réduit à

' fdtc «/' * '

2rtt7r V*

L'intégrale relative à ts devant être prise depuis a = — - jusqu'à cy = :r, l'intégrale relative à t doit être prise depuis l = — ar:\Js jusqu'à t = a-\/s,et dans ces cas l'exponentielle sous le signe / est insensible à ces deux limites, soit parce que s est un grand nombre, soit parce que a est ici supposé divisé dans une infinité de parties prises pour unité ; on peut donc prendre l'intégrale depuis ^ = — 2c jusqu'à t = ^ . Faisons

la fonction intégrale précédente devient

kl*

fdt'c-^'\

Sm(')2

L'intégrale relative à t' doit être prise, comme l'intégrale relative à t, depuis z'= — 00 jusqu'à t' = ^ , ce qui réduit la quantité précédente à celle-ci,

f, i/!"a*Sm(')*

Sm(')2

Si l'on fait l=ar\Js et si l'on observe que, la variation de / étant l'unité, on a a fl?r = I , on aura

==fdrc

Sm(')2