LIVRE II

reurs des s observations sera comprise dans les limites ± ar\ls est

Nommons ±w l'erreur du résultat z; en substituant, dans l'équation (i), ± ar\/s au lieu de S£^'\ et h— ^ ± « au lieu de ^, elle donne

la probabilité que l'erreur du résultat z sera comprise dans les limites ± u est donc

Au lieu de supposer nulle la somme des erreurs, on peut supposer nulle une fonction quelconque linéaire de ces erreurs, que nous représenterons ainsi,

(m) me + AJzC^eO -f- mi^^e^^) +. . . + /n(^-')|(^-",

m, m^", m<-^ . . . étant des nombres entiers positifs ou négatifs. En substituant dans cette fonction [m], au lieu de s, £''\ ..., leurs valeurs données par les équations de condition, elle devient

en égalant donc à zéro la fonction (m), on a

Soit u l'erreur de ce résultat, en sorte que l'on ait

la fonction {m) devient

Déterminons la probabilité de l'erreur u, lorsque les observations sont en grand nombre.

Pour cela, considérons le produit

le signe /s'étendant à toutes les valeurs de x, depuis la valeur négative extrême de x jusqu'à sa valeur positive extrême. 9 (-) est, comme

dans les numéros précédents, la probabilité d'une erreur ,x dans chaque observation; jo étant supposé, ainsi que a, formé d'une infinité de parties prises pour unité. Il est clair que le coefficient d'une exponentielle quelconque d^'^'^ dans le développement de ce produit, sera la probabilité que la somme des erreurs des observations, multipliées respectivement par m, m^*\ . . ., c'est-à-dire la fonction (m), sera égale à /; en multipliant donc le produit précédent par c~^^^-\ le terme indépendant de c^v''-' et de ses puissances, dans ce nouveau produit, exprimera cette probabilité. Si l'on suppose, comme nous le ferons ici, la probabilité des erreurs positives la même que celle des erreurs négatives, on pourra, dans la somme /ç f - J c'^'^^v'-', réunir les termes multipliés, l'un par c'"^W-<^ et l'autre par c~'«-^W-' . alors cette somme prend la forme 2/cp ( - 1 cosm^cj. Il en est de même de toutes les

sommes semblables. De là il suit que la probabilité que la fonction {m) sera égale à /est égale à

1 c~mV I X 2 Tcp ( - ) cosm^rcT 1

l'intégrale étant prise depuis cj = — 7: jusqu'à ct = x. On a, en réduisant les cosinus en séries.

Si l'on fait - = x' et si l'on observe que, la variation de x étant