LIVRE

aura

et l'on peut, quels que soient />, //'\ ..., prendre ;x tel que les nombres m, m''\ ... soient des nombres entiers, comme l'analyse précédente le suppose. Alors on a

^ ~ "Wpïiy^ ' et l'erreur moyenne à craindre devient

jk"

(tj2

C'est, dans toutes les bypothëses que l'on peut faire sur les facteurs m, m^^\ ..., la plus petite erreur moyenne possible.

Si l'on fait les valeurs de m, rd^\ ... égales à ± i, l'erreur moyenne à craindre sera plus petite lorsque le signe ± sera déterminé, de manière que m^'^yo^'^ soit positif, ce qui revient à supposer i =7/z=m('^ = ..., et à préparer les équations de condition, de sorte que le coefficient de z dans chacune d'elles soit positif; c'est ce que l'on fait dans la méthode ordinaire. Alors le résultat moyen des observations est

^ ~ SpCô ' et l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins est

mais cette erreur surpasse la précédente, qui, comme on l'a vu, est la plus petite possible. On peut s'en convaincre d'ailleurs de cette manière. 11 suffît de faire voir que l'on a l'inégalité

^P^'^ ^Sp(i)^

ou

En effet, 2/»/?'^ est moindre que p- + /?^'^^ puisque {p'-*^ — pY ^^^ "^e (juantité positive; on peut donc, dans le second membre de l'inégalité précédente, substituer, pour ipp^^\ p"^ -t-/?^'^^ y^ /étant une quantité positive. En faisant des substitutions semblables pour tous les produits semblables, ce second membre sera égal au premier, moins une quantité positive.

Le résultat

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auquel correspond le minimum d'erreur moyenne à craindre, est celui que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations; car, la somme de ces carrés étant

la condition du minimum de cettcfonction, en faisant varier z, donne pour cette variable l'expression précédente; cette méthode doit donc être employée de préférence, quelle que soit la loi de facilité des er-

k" reurs, loi dont dépend le rapport -ç-

Ce rapport est|, si<p(x) est une constante; il est moindre que ^, si(p(.r) est variable, et tel qu'il diminue à mesure que x augmente, comme il est naturel de le supposer. En adoptant la loi moyenne des erreurs, que nous avons donnée dans le n"* 15 et suivant laquelle ^(.r) est égal à

— log-» on a

Quant aux limites =b a, on peut prendre pour ces limites les écarts du

résultat moyen, qui feraient rejeter une observation.

Mais on peut, par les observations mêmes, déterminer le facteur

IV' «i/-V de l'expression de l'erreur moyenne. En effet, on a vu, dans le