LIVRE II

numéro précédent, que la somme des carrés des erreurs des observa-

lions est à très peu près 2s -^^ -, et que, si elles sont en grand nombre,

il devient extrêmement probable que la somme observée ne s'écartera pas de cette valeur d'une quantité sensible; on peut donc les égaler; or la somme observée est égale à Se^'^" ou à S(^<"5 — ot^'^)-, en substi-

tuant pour z sa valeur -^r^T-y on trouve ainsi

L'expression précédente de l'erreur moyenne à craindre sur le résultat :: devient alors

expression dans laquelle il n'y a rien qui ne soit donné par les observations et par les coefficients des équations de condition.

21. Supposons maintenant que l'on ait deux éléments à corriger par l'ensemble d'un grand nombre d'observations. En nommant z et z' les corrections respectives de ces éléments, on formera, comme dans le numéro précédent, des équations de condition, qui seront comprises dans cette forme générale

eii) = p^i)z -+- q^O z'

a"^ étant, comme dans ce numéro, l'erreur de l'observation (i -+- i )'•"'"*". Si l'on multiplie respectivement par m, w^'^ ..., m^^~'^ ces équations, et que l'on ajoute ensemble ces produits, on aura une première équation finale

En multipliant encore les mêmes équations respectivement par n, n^*\ ..., n'-^~^^ et ajoutant ces produits, on aura une seconde équation finale

le signe S s'étendant ici, comme dans le numéro précédent, à toutes les valeurs de i, depuis i --= o jusqu'à / = ^ — i .

Si l'on suppose nulles les deux fonctions Sm('h^'\ Sn^'h^'K fonctions que nous désignerons respectivement par (m) et {n), les deux équations finales précédentes donneront les corrections z et z' des deux éléments. Mais ces corrections sont susceptibles d'erreurs, relatives à celle dont la supposition que nous venons de faire est elle-même susceptible. Concevons donc que les fonctions {m) et (n), au lieu d'être nulles, soient respectivement /et l\ et nommons u et m' les erreurs correspondantes des corrections z et z', déterminées par ce qui précède; les deux équations finales deviendront

/ =M.Sm('i;j('')+M'.Sm(''^g('), /'=M.S n^'^p(')-h a'.S/i('>^(').

11 faut maintenant déterminer les facteurs m, m^'\ ..., n, n^*\ ..., de manière que l'erreur moyenne à craindre sur chaque élément soit un minimum. Pour cela, considérons le produit

X fn (—] ^-''^'■'""')ï^+«('-')ct')-ï-v^-i

le signe / se rapportant à toutes les valeurs de x, depuis x = — a jusqu'à œ — a; ?f ^ j étant, comme dans le numéro précédent, la probabilité de l'erreur x, ainsi que de l'erreur — x. La fonction précédente devient, en réunissant les deux exponentielles relatives à £c et à — x,

2/9 ( - ] cos(/n;cGT -\- nxvj') X 2/9 ( - | cos(/n(')^GT + n^^^xvj') X...

X2/9 ( -J cos(m(^-'\iccj H-/i(^-0^j3']^

le signe / s'étendant ici à toutes les valeurs de x, depuis x= o jus-