LIVRE II

En substituant pour «i/r— la quantité l/- — ' à laquelle on peut,

par le n° 20, le supposer égal, e, t^'\ ... étant ce qui reste dans les équations de condition après y avoir substitué les corrections données par la méthode des moindres carrés des erreurs, l'erreur moyenne à craindre sur le premier élément est

25Tr

^S/7''')2.Sg(')2(S/?")9''))-^

L'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur le second élément est

2STC ^

^S/?<')2.Sg(02(Syr,{»)^(t))2

d'où l'on voit que le premier élément est plus ou moins bien déterminé que le second, suivant que S^^''^ est plus petit ou plus grand que

Si les r premières équations de condition ne renferment point q, et si les 5 — r dernières ne renferment point p, alors S/?^'^^^'^ = o, et les formules précédentes coïncident avec celle du numéro précédent.

On peut obtenir ainsi l'erreur moyenne à craindre sur chaque élément déterminé par la méthode des moindres carrés des erreurs, quel que soit le nombre des éléments, pourvu que l'on considère un grand nombre d'observations. Soient z, z' , z", z'", ... les corrections de chaque élément, et représentons généralement les équations de condition par la suivante :

Dans le cas d'un seul élément, l'erreur moyenne à craindre est, comme on l'a vu,

V 2 5 7: v/S^ra'

Lorsqu'il y a deux éléments, on aura l'erreur moyenne à craindre sur

le premier élément en changeant, dans la fonction {a), Sp^'^^ clans

fSp'''a^'^)^ S^(')2 V ^v L, ce qui donne, pour cette erreur,

Lorsqu'il y a trois éléments, on aura l'erreur à craindre sur le premier élément, en changeant, dans cette expression {a'), Sp^'^"^ dans

«/><"-- ^^C^' Sp..-.,<'. dans S,^^>,<',-?É!l.Ç^f!l^, et S,dans S^''^- — —-^-jff2~~' '•> ^^ ^^' donne pour cette erreur

y/^ v/Sg<^^=^:Sr^)2 -[SgOVr^^]^

h S/^('>2.S^<')2Sr(')2 S/^(''>2(Sr7('>r('))2 — S7(''-'(S^(')r('))2 j V / — Sr(')2(Sp(')7('))2 -+- 2S;j('^ç(').S/><''r(''.S7(')r(') j

Dans le cas de quatre éléments, on aura l'erreur moyenne à craindre sur le premier élément, en changeant dans cette expression {a"), S/?''^'-*

dans S;,''-'^ - (M^, Sp'^Y' dans S;,<'V/« - ^"'""^^^f"", etc.

En continuant ainsi, on aura l'erreur moyenne à craindre sur le premier élément, quel que soit le nombre des éléments. En changeant, dans l'expression de cette erreur, ce qui est relatif au premier élément, dans ce qui est relatif au second et réciproquement, on aura l'erreur moyenne à craindre sur le second élément, et ainsi des autres.

De là résulte un moyen simple de comparer entre elles diverses Tables astronomiques, du côté de la précision. Ces Tables peuvent toujours être supposées réduites à la même forme, et alors elles ne différent que par les époques, les moyens mouvements et les coefficients de leurs arguments; car, si l'une d'elles, par exemple, contient un argument qui ne se trouve point dans les autres, il est clair que cela revient à supposer, dans celles-ci, ce coefficient nul. Maintenant, si l'on comparait ces Tables à la totalité des bonnes observations, en les rectifiant par cette comparaison, ces Tables, ainsi rectifiées, satisferaient.