FH - G

l'intégrale précédente devient donc

On aura, par le numéro précédent, l'erreur moyenne à craindre, en plus ou en moins, sur la correction du premier élément, en multipliant la quantité sous le signe / par ±zu, et prenant l'intégrale depuis Il = o jusqu'à w = 00 , ce qui donne, pour cette erreur,

le signe -h indiquant l'erreur moyenne à craindre en plus, et le signe — l'erreur moyenne à craindre en moins.

Déterminons présentement les facteurs m^'> et n^'\ de manière que

cette erreur soit un minimum. En faisant varier w''^ seul, on a

,. JR , ,., — »('■) S/if')cf(')-i-a(') Sn(')o(') d log p = dm^'' — - — — -J — - — I c —

j ^(')Sn('')2.Smf'')^(')— nf'''.Sm(')^(''.S«(''^(')

— (7(0Smî')n(').Sn(')<7('')-f-m('")(S/i(')cf''>)2 -^dm^'^ > 2 ^ ^ ^— i-

11 est facile de voir que cette différentielle disparaît, si l'on suppose, dans les coefficients de dm^^\

[X étant un coefficient arbitraire indépendant de i, et au moyen duquel on peut rendre m<'^ et /i''^ des nombres entiers; la supposition précédente rend donc nulle la différentielle de —^ prise par rapport à m<'\ On verra de la même manière que cette supposition rend nulle la différentielle de la même quantité, prise par rapport à n^'K Ainsi cette supposition rend un minimum l'erreur moyenne à craindre sur la correction du premier élément; et l'on verra de la même manière qu'elle rend encore un minimum l'erreur moyenne à craindre sur la correction du second élément, erreur que l'on obtient en changeant dans l'expression de la précédente H en F. Dans cette supposition, les corrections des deux éléments sont

Sg^')2.S;>f')af'' — Sp^'^^^'^S^C'a'''

S/>('^2.S^(')at') — Sp('''^f'^Sp('')a(')

Il est facile de voir que ces corrections sont celles que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations, ou du minimum de la fonction

d'où il suit que cette méthode a généralement lieu, quel que soit le nombre des éléments à déterminer; car il est visible que l'analyse précédente peut s'étendre à un nombre quelconque d'éléments.