LIVRE IL

habilités respectives; elle est donc

Maintenant, 00 étant susceptible d'une infinité de valeurs, en les considérant comme autant de causes de l'événement observé, la probabilité de chacune d'elles sera, par le n° 1,

dx (p{— x) (p{q ~ x) 9(^(" — a?) ... Jdx (^[~ x) (<^[q — .r) ©(^('^ — x)...

l'intégrale du dénominateur étant prise pour toutes les valeurs dont ce est susceptible. Nommons ^7 ce dénominateur. Cela posé, imaginons une courbe dont x soit l'abscisse, et dont l'ordonnée y soit

Hcp(— a:) <^[q — x] 9(gf*' — .r)...,

cette courbe sera celle des probabilités des valeurs de x. La valeur qu'il faut choisir pour résultat moyen est celle qui rend l'erreur moyenne à craindre un minimum. Toute erreur, soit positive, soit négative, devant être considérée comme un désavantage, ou une perte réelle au jeu, on a le désavantage moyen, en prenant la somme des produits de chaque désavantage par sa probabilité; la valeur moyenne de l'erreur à craindre est donc la somme des produits de chaque erreur, abstraction faite du signe, par sa probabilité. Déterminons l'abscisse qu'il faut choisir pour que cette somme soit un minimum. Pour cela, donnons aux abscisses pour origine la première extrémité de la courbe précédente, et nommons x' et y' les coordonnées de la courbe, à partir de cette origine. Soit / la valeur qu'il faut choisir. Il est clair que, si le vrai résultat était x', l'erreur du résultat / serait, abstraction faite du signe, /— x', tant que x' serait moindre que /; or j' est la probabilité que x' est le résultat vrai ; la somme des erreurs à craindre, abstraction faite du signe, multipliées par leur probabilité, est donc pour toutes les valeurs de x' moindres que /, f [l — x') y' dx' , l'intégrale étant prise depuis a?' = o jusqu'à £c'= /. On verra de la même manière que, pour les valeurs de x' supérieures à /, la somme des erreurs à craindre, mul-

tipliées par leur probabilité, est f{x'— l)y'dx', l'intégrale étant prise depuis ^'— / jusqu'à l'abscisse ^'correspondante à la dernière extrémité de la courbe; la somme entière des erreurs à craindre, abstraction faite du signe, et multipliées par leurs probabilités respectives,

est donc

. S[l~x')fdx'+S[x'-l]x'dx'.

La différentielle de cette fonction, prise par rapport à /, est

dlff'dx' — dlfydx';

car on a la différentielle de J[l— x')y'dx', en différentiant d'abord la valeur de / sous le signe /, et en ajoutant à cette différentielle l'accroissement qui résulte de la variation de la limite de l'intégrale, limite qui se change en l-^dl. Cet accroissement est égal à l'élément {l—x')y'dx\ h la limite oii x' =^ l; il est donc nul, et dlfy'dx' est la différentielle de l'intégrale J[l — x')y' dx'. On verra de la même manière que — dlfy'dx' est la différentielle de l'intégrale J{x'— l)y'dx'. La somme de ces différentielles est nulle relativement à l'abscisse /, pour laquelle l'erreur moyenne à craindre est un minimum; on a donc, relativement

à cette abscisse,

fx'dx'=fydx', V

la première intégrale étant prise depuis x' =^0 jusqu'à x' =^ l, et la seconde étant prise depuis a?'= /jusqu'à la valeur extrême de x'.

Il suit de là que l'abscisse qui rend l'erreur moyenne à craindre un minimum est celle dont l'ordonnée divise l'aire de la courbe en deux parties égales. Ce point jouit encore de la propriété d'être celui en deçà duquel il est aussi probable que le vrai résultat tombe, qu'au delà, et par cette raison il peut encore être nommé mUieu de probabUité. Des géomètres célèbres ont pris pour le milieu qu'il faut choisir celui qui rend le résultat observé le plus probable, et par conséquent l'abscisse qui répond à la plus grande ordonnée de la courbe; mais le milieu que nous adoptons est évidemment indiqué par la théorie des probabilités.

Si l'on met '^[x) sous la forme d'exponentielle, et qu'on le désigne