LIVRE II

par c~'^^^''\ afin qu'il puisse également convenir aux erreurs positives et négatives, on aura

( I ) r = H C-'^U')-']'U'Çy-'\'(x-qi^))2

Si Ton fait x = a-+- z, et que l'on développe l'exposant de c par rapport aux puissances de s, y prendra cette forme

expression dans laquelle on a

P =^'[a^) -i- <],'[a — q)^ -^ ^'{a — q^^^y- -^ . . . + la^' Vi^^)

+ 7.{a- qY ^"(« - g)2 + 2(rt - q^'^Y 4^"'> - ^^'^)^ + • • •» * j

^'(t) étant le coefficient de dt dans la différentielle de '^{t), Y(^) étant le coefficient de dt dans la différentielle de '^'{t), et ainsi de suite.

Supposons le nombre s des observations très grand, et déterminons a par l'équation N == o que donne la condition du maximum de j ; alors on a

M, P, Q, ... sont de l'ordre s\ or, si z est très petit de l'ordre -^, Qs' devient de l'ordre ~y et l'exponentielle c^^^"" peut se réduire à

l'unité. Ainsi, dans l'intervalle depuis 5 = 0 jusqu'à z= -^^ on peut

supposer

r = II c-^-^^\

Au delà, et lorsque z est de l'ordre s~ \ 7n étant plus petit que l'unité, Pz- devient de l'ordre 5'"'; par conséquent c"^'' devient, ainsi que y, insensible; en sorte que l'on peut, dans toute l'étendue de la courbe.

supposer

La valeur de a donnée par l'équation N = o, ou

est alors l'abscisse x correspondante à l'ordonnée qui divise l'aire de la courbe en parties égales. La condition que l'aire entière de la courbe doit représenter la certitude ou l'unité donne

l'intégrale étant prise depuis ^ =r— 00 jusqu'à z- z= x> , ce qui donne

L'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins, en prenant a pour résultat moyen des observations, est ±fzydz, l'intégrale étant prise depuis z nul jusqu'à z infini, ce qui donne pour cette erreur

Mais l'ignorance entière où l'on est de la loi c^'^^^'^ des erreurs de chaque observation ne permet pas de former l'équation

Ainsi, la connaissance des valeurs de q, q^*\ ... ne donnant a posteriori aucune lumière sur le résultat moyen a des observations, il faut s'en tenir au résultat le plus avantageux déterminé a priori, et que l'on a vu être celui que fournit la méthode des moindres carrés des erreurs. Cherchons la fonction ^(^^) qui donne constamment la règle des milieux arithmétiques, admise par les observateurs. Pour cela, concevons que, sur les s observations, les i premières coïncident, ainsi que les s — i dernières. L'équation N = o devient alors

o = ia y{a-) -h [s — i) {a — q) ^'{a — qY-