LIVRE IL

respond au système du minimum de la plus grande des erreurs, abstraction faite du signe, est

S'il y a plusieurs éléments à corriger, les équations de condition qui déterminent leurs corrections renferment plusieurs inconnues, et la recherche du système de correction, dans lequel la plus grande erreur est, abstraction faite du signe, plus petite que dans tout autre système, devient plus compliquée. J'ai considéré ce cas d'une manière générale dans le Livre III de la Mécanique céleste. J'observerai seulement ici qu'alors la somme des puissances iji des erreurs des observations est, comme dans le cas d'une seule inconnue, un minimum lorsque -in est infini; d'où il est facile de conclure que, dans le système dont il s'agit, il doit y avoir autant d'erreurs, plus une, égales, et les plus grandes, abstraction faite du signe, qu'il y a d'éléments à corriger. On conçoit que les résultats correspondants à 2/î égal à un grand nombre doivent peu différer de ceux que donne in infini. Il n'est pas même nécessaire pour cela que la puissance in soit fort élevée, et j'ai reconnu par beaucoup d'exemples que, dans le cas même où cette puissance ne surpasse pas le carré, les résultats diffèrent peu de ceux que donne le système du minimum des plus grandes erreurs, ce qui est un nouvel avantage de la méthode des moindres carrés des erreurs des observations.

Depuis longtemps, les géomètres prennent un milieu arithmétique entre leurs observations, et, pour déterminer les éléments qu'ils veulent connaître, ils choisissent les circonstances les plus favorables pour cet objet, savoir, celles dans lesquelles les erreurs des observations altèrent le moins qu'il est possible la valeur de ces éléments. Mais Cotes est, si je ne me trompe, le premier qui ait donné une règle générale pour faire concourir à la détermination d'un élément plusieurs observations, proportionnellement à leur influence. En considérant chaque observation comme une fonction de l'élément et regardant l'erreur de l'observation comme une diff'érentielle infiniment petite, elle sera égale à la différentielle de la fonction, prise par rapport à cet

élément.^Plus le coefficient de la différentielle de l'élément sera considérable, moins il faudra faire varier l'élément, pour que le produit de sa variation par ce coefficient soit égal à l'erreur de l'observation ; ce coefficient exprimera donc l'influence de l'observation sur la valeur de l'élément. Gela posé. Cotes représente toutes les valeurs de l'élément, données par chaque observation, par les parties d'une droite indéfinie, toutes ces parties ayant une commune origine. Il conçoit ensuite, à leurs autres extrémités, des poids proportionnels aux influences respectives des observations. La distance de l'origine commune des parties au centre commun de gravité de tous ces poids est la valeur qu'il choisit pour l'élément.

Reprenons l'équation de condition du n*' 20,

r(i) := nW z — niiK

e^'^ étant l'erreur de l'observation (i -h ly^"'^, et z étant la correction de l'élément déjà connu à fort peu près; p^^\ que l'on peut toujours supposer positif, exprimera l'influence de l'observation correspondante.

-^ étant la valeur de z résultante de l'observation, la règle de Cotes

revient à multiplier cette valeur par /?^'\ à faire une somme de tous les produits relatifs aux diverses valeurs, et à la diviser par la somme do tous les /?^'^ ce qui donne

''-sT^"

C'était en effet la correction adoptée par les observateurs, avant l'usage de la méthode des moindres carrés des erreurs des observations.

Cependant on ne voit pas que, depuis cet excellent géomètre, on ait employé sa règle, jusqu'à Euler, qui, dans sa première pièce de Jupiter et Saturne, me paraît s'être servi le premier des équations de condition pour déterminer les éléments du mouvement elliptique de ces deux planètes. Presqu'en même temps, Tobie Mayer en fit usage dans ses belles recherches sur la libration de la Lune, et ensuite pour former ses Tables lunaires. Depuis, les meilleurs astronomes ont suivi