LIVRE IL

lequel la plus grande erreur, abstraction faite du signe, est moindre que dans tout autre système. Ce cas est celui du minimum des puissances infinies et paires des erreurs. Ne considérons ici que la correction d'un seul élément, et, z exprimant cette correction, représentons, comme précédemment, les équations de condition par la suivante,

i pouvant varier depuis zéro jusqu'à ^ — i, ^ étant le nombre des observations. La somme des puissances in des erreurs sera ^{vS'^ — p^'^zy\ le signe S s'étendant à toutes les valeurs de i. On peut supposer dans cette somme toutes les valeurs de />^'^ positives; car, si l'une d'elles était négative, elle deviendrait positive en cbangeant, comme on peut le faire, les signes des deux termes du binôme élevé à la puissance 2«, auquel elle correspond. Nous supposerons donc les quantités cl — pz, a(') ^(O^^ 0^(2) ^(2)^^ ..., disposées de manière que les quantités/?, /?''^ p'^^\ ... soient positives et croissantes. Cela posé, si in est infini, il est clair que le plus grand terme de la somme S(a^'^ — jo^'^z)^" sera la somme entière, à moins qu'il n'y ait un ou plusieurs autres termes qui lui soient égaux, et c'est ce qui doit avoir lieu dans le cas du minimum de la somme. En effet, s'il n'y avait qu'une seule quantité la plus grande, abstraction faite du signe, telle que a^'^ — p^'^z, on pourrait la diminuer en faisant varier :; convenablement, et alors la somme S(a('^ — /?('U)2" diminuerait et ne serait pas un minimum. Il faut de plus que, sia^'^ — p^'^z et ol^'"' — p^''^ z sont, abstraction faite du signe, les deux quantités les plus grandes et égales entre elles, elles soient de signe contraire. En effet, la somme

(a(') — /?('■) z)2« -h («('") — /;('■') z)2« devant être alors un minimum, sa différentielle

— 2n rfz [;?('■) (a''' — /?('■) z)2«-t -+. p(n(^oc^i') -^ pin z]^"'*]

doit être nulle, ce qui ne peut être, lorsque n est infini, que dans le cas où é'^—p^'^z et a.^''^ — p^''^z sont infiniment peu différents et de

signe contraire. S'il y a trois quantités les plus grandes, et égales entre elles, abstraction faite du signe, on verra de la même manière que leurs signes ne peuvent être les mêmes. Maintenant, considérons la suite

(""^ \^oc-\-pz, ..., aU^3)+^(.^3)2, a(^-2)+/?C^-2)2, a(^-OH-p(^-'U.

Si Ton suppose :; = — co , le premier terme de la suite surpasse les suivants, et continue de les surpasser en faisant croître z, jusqu'au moment où il devient égal à l'un d'eux. Alors celui-ci, par l'accroissement de z, devient le plus grand de tous, et à mesure que l'on fait croître z, il continue toujours de surpasser ceux qui le précèdent. Pour déterminer ce terme, on formera la suite des quotients

p(~^)zzjirï)'' ^-(7-T):y.^r ■"' j)îs^r-p' pis-i)-^p' **•' ^.(T-^rn^T^^)

Supposons que 'Ç^I'Ç^ soit le plus petit de ces quotients en ayant

égard au signe, c'est-à-dire en regardant une quantité négative plus grande comme plus petite qu'une autre quantité négative moindre. S'il y a plusieurs quotients les plus petits et égaux, nous considérerons celui qui se rapporte au terme le plus éloigné du premier dans la suite (o) ; ce terme sera le plus grand de tous, jusqu'au moment où, par l'accroissement de z, il devient égal à l'un des suivants, qui commence alors à être le plus grand. Pour déterminer ce nouveau terme, on formera la nouvelle suite de quotients

a(/-) ocir-i) «(/•) aC-a) a^r) « «";'+«

le terme de la suite (o) auquel répond le plus petit de ces quotients sera le nouveau terme. On continuera ainsi jusqu'à ce que l'un des deux termes qui deviennent égaux et les plus grands soit dans la première moitié de la suite (o), et l'autre dans la seconde moitié. Soient ySi)^p{i)z et — é''^ -^ p^'"' z ces deux termes; alors la valeur de z qui cor-