LIVRE II

La même analyse peut être étendue aux divers résultats de la Médecine et de l'Économie politique, et même à l'influence des causes morales; car l'action de ces causes, lorsqu'elle est répétée un grand nombre de fois, offre dans ses résultats autant de régularité que les causes physiques.

On peut encore déterminer par l'Analyse des Probabilités, comparée à un grand nombre d'expériences, l'avantage et le désavantage des joueurs, dans les cas dont la complication rend impossible leur recherche directe. Tel est l'avantage de la main, au jeu du piquet : telles sont encore les possibilités respectives d'amener les différentes faces d'un prisme droit rectangulaire, dont la longueur, la largeur et la hauteur sont inégales, lorsque le prisme projeté en l'air retombe sur un plan horizontal.

Enfin on pourrait faire usage du Calcul des Probabilités pour rectifier les courbes ou carrer leurs surfaces. Sans doute, les géomètres n'emploieront pas ce moyen; mais, comme il me donne lieu de parler d'un genre particulier de combinaisons du hasard, je vais l'exposer en peu de mots.

Imaginons un plan divisé par des lignes parallèles, équidistantes de la quantité a; concevons de plus un cylindre très étroit, dont 2r soit la longueur, supposée égale ou moindre que a. On demande la probabilité qu'en le projetant, il rencontrera une des divisions du plan.

Élevons sur un point quelconque d'une de ces divisions une perpendiculaire prolongée jusqu'à la division suivante. Supposons que le centre du cylindre soit sur cette perpendiculaire et à la hauteur y audessus de la première de ces deux divisions. En faisant tourner le cylindre autour de son centre et nommant 9 l'angle que le cylindre fait avec la perpendiculaire, au moment où il rencontre cette division, 29 sera la partie de la circonférence décrite par chaque extrémité du cylindre, dans laquelle il rencontre la division ; la somme de toutes ces parties sera donc lifa^dy, ou 4?J — ^J yd^\ or on a j = rcoscp ; cette somme est donc

4(pj — ^r s\no + consl.

Pour déterminer cette constante, nous observerons que J'intégrale doit s'étendre depuis y nul jusqu'à y = r, et par conséquent depuis

9 = - jusqu'à «p — o, ce qui donne

const. — 4^;

ainsi la somme dont il s'agit est 4^- Depuis y =: a — r jusqu'à y = a, le cylindre peut rencontrer la division suivante, et il est visible que la somme de toutes les parties relatives à cette rencontre est encore ^r; Srcst donc la somme de toutes les parties relatives à la rencontre de l'une ou de l'autre des divisions par le cylindre, dans le mouvement de son centre le long de la perpendiculaire. Mais le nombre de tous les arcs qu'il décrit en tournant en entier sur lui-même, à chaque point de cette perpendiculaire, est 2«7:; c'est le nombre de toutes les combinaisons possibles; la probabilité de la rencontre d'une des divisions du

plan par le cylindre est donc — • Si l'on projette un grand nombre de

fois ce cylindre, le rapport du nombre de fois où le cylindre rencontrera l'une des divisions du plan au nombre total des projections sera,

par le n° 16, à très peu près, la valeur de — > ce qui fera connaître la

valeur de la circonférence 2-. On aura, par le même numéro, la probabilité que l'erreur de cette valeur sera comprise dans des limites don-

8r nées, et il est facile de voir que le rapport — qui, pour un nombre

donné de projections, rend l'erreur à craindre la plus petite, est l'unité, ce qui donne la longueur du cylindre égale à l'intervalle des divisions, multiplié par le rapport de la circonférence à quatre diamètres.

Concevons maintenant le plan précédent divisé encore par des lignes perpendiculaires aux précédentes, et équidistantes d'une quantité b égale ou plus grande que la longueur 2r du cylindre. Toutes ces lignes formeront avec les premières une suite de rectangles dont b sera la longueur et a la hauteur. Considérons un de ces rectangles; supposons que dans son intérieur on mène à la distance r de chaque côté des lignes qui lui soient parallèles. Elles formeront d'abord un rectangle

intérieur, dontZ> — 2 r sera la longueur, et a — 2 /la hauteur; ensuite deux petits rectangles, dont r sera la hauteur, et ^ — 2/- la longueur ; puis deux autres petits rectangles dont r sera la longueur et a — 2/* la hauteur; enfin, quatre petits carrés dont les côtés seront égaux à /■.

Tant que le centre du cylindre sera placé dans le rectangle intérieur, le cylindre, en tournant sur son centre, ne rencontrera jamais les côtés du grand rectangle.

Lorsque le centre du cylindre sera placé dans l'intérieur d'un des rectangles dont r est la hauteur et /; — 2r la longueur, il est facile de voir, par ce qui précède, que le produit de 8r par la longueur b — 21sera le nombre des combinaisons correspondantes, dans lesquelles le cylindre rencontrera l'un ou l'autre des côtés b du grand rectangle. Ainsi 8;'(^— 2r) sera le nombre total des combinaisons correspondantes aux cas dans lesquels, le centre du cylindre étant placé dans l'un ou l'autre de ces petits rectangles, le cylindre rencontre le contour du grand rectangle. Par la même raison, Sr[a — 2r) sera le nombre total des combinaisons dans lesquelles, le centre du cylindre étant placé dans l'intérieur des petits rectangles dont reta — 2r sont les dimensions, le cylindre rencontre le contour du grand rectangle.

Il nous reste à considérer les quatre petits carrés. Soit ABCD l'un d'eux. De l'angle A commun à ce carré et au grand rectangle, comme centre, et du rayon r, décrivons un quart de circonférence se terminant aux points B et D. Tant que le centre du cylindre sera compris dans le quart de cercle formé par cet arc, le cylindre, en tournant, rencontrera dans toutes ses positions le contour du grand rectangle; le nombre des combinaisons dans lesquelles cela aura lieu est donc égal au produit de 277 par la surface du quart de cercle, et par conséquent

il est égal à Si le centre du cylindre est dans la partie du carré

qui est au delà du quart de cercle, le cylindre, en tournant autour de son centre, pourra rencontrer l'un ou l'autre des deux côtés AB et AD prolongés, sans jamais les rencontrer tous deux à la fois. Pour déter-

miner le nombre des combinaisons relatives à cette rencontre, je conçois sur un point quelconque du côté AB, distant de x du point A, une perpendiculaire y dont l'extrémité soit au delà du quart de cercle. Je place le centre du cylindre sur cette extrémité, de laquelle j'abaisse quatre droites égales à r, et dont deux aboutissent sur le côté AB prolongé, si cela est nécessaire, et deux autres sur le côté AD pareillement prolongé. Je nomme 29 l'angle compris entre les deux premières lignes, et 29' l'angle compris entre les deux secondes. Il est visible que le cylindre, en tournant sur son centre, rencontrera le côté AB prolongé tant qu'une de ses moitiés sera dans l'angle 29, et qu'il rencontrera le côté AD prolongé tant qu'une de ses moitiés sera dans l'angle 29'; le nombre total des combinaisons dans lesquelles le cylindre rencontrera l'un ou l'autre de ces côtés est donc 4(? + ?'); ainsi ce nombre, relativement à la partie du carré extérieure au quart de cercle, est

or on a évidemment

:r = rcos9', j=rcos9;

l'intégrale précédente devient ainsi

^r-ff[cf -h (f') d<:f dcfi's'mcf siticf',

et il est facile de voir que l'intégrale relative à 9' doit être prise depuis 9'" o jusqu'à 9'= - — 9, et que l'intégrale relative à 9 doit être prise depuis 9 = 0 jusqu'à 9 = -, ce qui donne {r^{ii — 7:^) pour cette intégrale. En lui ajoutant ^^^> on aura le nombre des combinaisons

relatives au carré, et en quadruplant ce nombre et le réunissant aux nombres précédents des combinaisons relatives à la rencontre du contour du grand rectangle par le cylindre, on aura, pour le nombre total

des combinaisons,