LIVRE II
l'intégrale du dénominateur étant prise depuis x ^- o jusqu'à x = i. La probabilité que la valeur de x est comprise dans les limites x =- (i et a? = 0' est par conséquent égale à
l'intégrale du numérateur étant prise depuis x = 0 jusqu'à x = 0', et celle du dénominateur étant prise depuis x = o jusqu'à x = \.
La valeur de x la plus probable est celle qui rendj un maximum. Nous la désignerons par a. Si aux limites de x, y est nul, alors cbaque valeur de j a une valeur égale correspondante de l'autre côté du
maximum.
Quand les valeurs de x, considérées indépendamment du résultat observé, ne sont pas également possibles, en nommant z la fonction de X qui exprime leur probabilité, il est facile de voir, par ce qui a été dit dans le Chapitre P'de ce Livre, qu'en changeant dans la formule (i), r dans yz, on aura la probabilité que la valeur de x est comprise dans les limites .r = 6 et ^ = 6'. Cela revient à supposer toutes les valeurs de X également possibles a priori, et à considérer le résultat observé comme étant formé de deux résultats indépendants, dont les probabilités sont/ et z. On peut donc ramener ainsi tous les cas à celui où l'on suppose a priori, avant l'événement, une égale possibilité aux différentes valeurs de x, et, par cette raison, nous adopterons cette hypothèse dans ce qui va suivre.
Nous avons donné dans les n«^22 et suivants du Livre P'" les formules nécessaires pour déterminer, par des approximations convergentes, les intégrales du numérateur et du dénominateur de la formule (i), lorsque les événements simples dont se compose l'événement observé sont répétés un très grand nombre de fois; car alors j a pour facteurs des fonctions de x élevées à de grandes puissances. Nous allons, au moyen de ces formules, déterminer la loi de probabilité des valeurs de X, à mesure qu'elles s'éloignent de la valeur a, la plus probable, ou qui rend v un maximum. Pour cela, reprenons la formule (c) du
Il" 27 du Livre V,
"^" ^'' 'dF' ^(Ixr^' • "' ^^^s^" 0" y change, après les différentiations, ■T en a, a étant la valeur de ^ qui rend j un maximum : T est égal à ce que devient la fonction s/logY^Tl^, lorsqu'on change ^ en « - 6 dans j, et T' est ce que devient la même fonction, lorsqu'on y change ^ dans a + 0'. L'expression précédente de fydx donne la valeur de cette intégrale, dans les limites oo = a - Q et x = a + fi\ l'intégrale fdtc-" étant prise depuis ^ == — T jusqu'à / = T'.
Le plus souvent, aux limites de l'intégrale fydx, étendue depuis r = o jusqu'à^=:i, jestnul; ou, lorsque/ n'est pas nul, il devient si petit à ces limites, qu'on peut le supposer nul. Alors, on peut faire à ces limites T et T' infinis, ce qui donne pour l'intégrale fy dr, étendue depuis .x = o jusqu'à ^ = i ,
ainsi la probabilité que la valeur de ^ est comprise dans les limites .r = a - e et il? = « -+- e' est égale à
