LIVRE II

(les fonctions de x élevées à de grandes puissances de l'ordre -, % étani

une fraction extrêmement petite, alors U est le plus souvent de l'ordre s/a, ainsi que ses différences successives; U, ^~. -^:^^:i^, ...

sont respectivement des ordres y^â, oc, a^ ...; d'où il suit que la convergence des séries de la formule (3) exige que T et T' ne soient pas

d'un ordre supérieur à --L-

Si l'on suppose 6 = 0', alors on a à fort peu près T = T', et la formule (3) se réduit, en négligeant les termes de l'ordre a, à l'intégrale - /- > prise depuis / = - T jusqu'à t = T'; ce qui revient, en négligeant le carré de la différence T'^ ~ T-, à doubler l'intégrale précédente et à la prendre depuis / nul jusqu'à

Or on a

et l'on peut supposer

T2 = logY ~ log r,

IogJ= :|;l0g9,

9 étant une fonction de x ou de «-9, qui ne renferme plus de

élevés à de grandes puissances. En nommant donc cp -~\

' dx

ce quedeviennent, lorsque 6 est nul, 9,$^, ^~y^ , ..., en ohser-

facteurs élevés à de grandes puissances. En nommant donc cp -^'-î\

dx- ' ^^ '-[wv^ vAv^Ticiiuciii, luistjuu u USLIIUI, 9, -7^» ~.~

vant ensuite que la condition de Y ou 0 un maximum donne ~ on aura

dx

En changeant 0 dans -0, on aura la valeur de xV; on aura donc, en négligeant les termes de Tordre a^

partant,

Faisons

rf2(ï)

rf2$

1^ dx'^

lYdx-^

la probabilité que la valeur de x est comprise dans les limites

, sera k

ijdtc-^'

l'intégrale étant prise depuis ï = o, et pouvant être obtenue d'une manière fort approchée par les formules du n° 27 du Livre P''.

11 résulte de cette expression que la valeur de x la plus probable est a, ou celle qui rend l'événement observé le plus probable, et qu'en multipliant à l'infini les événements simples dont l'événement observé se compose, on peut à la fois resserrer les limites a± -^» et augmenter la probabilité que la valeur de x tombera entre ces limites; en sorte qu'à l'infini, cet intervalle devient nul, et la probabilité se confond avec la certitude.

Si l'événement observé dépend d'événements simples de deux différents genres, en nommant x et x' les possibilités de ces deux genres d'événements, on verra, par les raisonnements précédents, que, 7 étant alors la probabilité de l'événement composé, la fraction

y dx dx' (4 f'jyd^dx'

sera la probabilité des valeurs simultanées de x et de x', les intégrales du dénominateur étant prises depuis .^ = o jusqu'à x = i, et depuis x':=o jusqu'à ^'= I. En nommant a et a' les valeurs de ^ et de x' qui