LIVRE II

Si l'on fait q'= " h s, 5 sera l'erreur de q'-, pareillement, si l'on sup-

pose r' — J-- -\- z', z' sera l'erreur de r' , et ainsi de suite. L'expression

précédente de P est donc la probabilité que les erreurs de q\ r, s' , . . . sont comprises dans les limites'zéro et z, zéro et z', zéro et z"y etc. Les valeurs de G, ê', ... dépendent de /?, q, r, ..., qui sont inconnues; mais la supposition de p infini donne

On peut substituer, sans erreur sensible, ~ au lieu de ^, ce aui , P P ^

donne

iq[p -q On aura de la même manière

ir'

is'\

Si l'on ne veut considérer que l'erreur d'un des nombres de la Table, tel que s', alors on intégrera l'expression de P, relativement à z'", z^", ..., depuis les valeurs infinies négatives de ces variables jusqu'à leurs valeurs infinies positives, et alors on a

J \Jt: \Jv: v/tt

Les intégrales relatives à s et :;' doivent être prises depuis leurs valeurs infinies négatives jusqu'à leurs valeurs infinies positives; on trouvera ainsi, par le procédé dont nous avons souvent fait usage pour ce genre d'intégrations, que, si l'on suppose

is'[p'—s')

on aura

J fi

La probabilité que l'erreur d'un nombre quelconque de la Table sera comprise dans les limites zéro et une quantité quelconque est donc indépendante, soit des nombres intermédiaires, soit des nombres subséquents.

Si l'on fait yz" = t, on aura

et la probabilité P que le rapport de l'erreur du nombre s' de la Table

à ce nombre lui-même sera compris dans les limites ±: ti/ -^"—r,—est

l'intégrale étant prise depuis t nul. On voit ainsi que, la valeur de / et par conséquent la probabilité P restant les mêmes, ce rapport augmente lorsque /diminue; ainsi les nombres de la Table sont d'autant moins sûrs qu'ils sont plus éloignés du premier/?'. On voit encore que ce rapport diminue à mesure que/?' augmente, ou à mesure que l'on multiplie les observations; de manière que l'on peut, par cette multiplication, diminuer à la fois ce rapport et augmenter/, ce rapport devenant nul lorsque /?' est infini, et P devenant alors égal à l'unité.

31. Appliquons l'analyse précédente à la recherche de la population d'un grand empire. L'un des moyens les plus simples et les plus propres à déterminer cette population est l'observation des naissances annuelles dont on est obligé de tenir compte pour déterminer l'état civil des enfants. Mais ce moyen suppose que l'on connaît, à très peu près, le rapport de la population aux naissances annuelles, rapport que l'on obtient en faisant sur plusieurs points de l'empire le dénombrement exact des habitants, et en le comparant aux naissances correspon-