LIVRE II

(lantes observées pendant quelques années consécutives; on en conclut ensuite, par une simple proportion, la population de tout l'empire. Le Gouvernement a bien voulu, à ma prière, donner des ordres pour avoir, avec précision, ces données. Dans trente départements, distribués sur la surface de la France, de manière à compenser les effets de la variété des climats, on a fait choix des communes dont les maires, par leur zèle et leur intelligence, pouvaient fournir les renseignements les plus précis. Le dénombrement exact des habitants de ces communes, pour le 22 septembre 1802, s'est élevé à 2037615 individus. Le relevé des naissances, des mariages et des morts, depuis le 22 septembre 1799 jusqu'au 22 septembre 1802, a donné, pour ces trois années,

Naissances. Mariages. Décès.

I loSi?. garçons. 46087 loSôSg mâles.

105287 filles. 99443 femelles.

Le rapport des naissances des garçons à celles des filles, que ce relevé présente, est celui de 22 à 21, et les mariages sont aux naissances comme 3 à i4; le rapport de la population aux naissances annuelles est 28,352845. En supposant donc le nombre des naissances annuelles en France égal à un million, ce qui s'éloigne peu de la vérité, on aura, en multipliant par le rapport précédent, ce dernier nombre, la population de la France égale à 28 352 845 individus. Voyons l'erreur que l'on peut craindre dans cette évaluation.

Pour cela, concevons une urne qui renferme une infinité de boules blanches et noires dans un rapport inconnu. Supposons ensuite qu'ayant tiré au hasard un grand nombre p de ces boules, q aient été blanches, et que, dans un second tirage, sur un nombre inconnu de boules extraites, il y en ait q' de blanches. Pour en déduire ce nombre inconnu, on suppose son rapport à q' , le même que celui de/? à q, ce

qui donne -- pour ce nombre. Cherchons la probabilité que le nombre

des boules extraites au second tirage est compris dans les limites

^ àzz. Nommons x le rapport inconnu du nombre des boules blanq

ches au nombre total des boules de l'urne. La probabilité de l'événement observé dans le premier tirage sera exprimée par le terme qui a pour facteur œ^i — x)P-f dans le développement du binôme [^ -h (i — x)y, d'où il est facile de conclure, comme dans le numéro précédent, que la probabilité de x est

fx^ dx[i — x)P~9^

l'intégrale du dénominateur étant prise depuis œ — o jusqu'à x= i. Concevons maintenant que, dans le second tirage, le nombre total des boules extraites est^ +:?; la probabilité du nombre observé ^' de

boules blanches sera le terme du binôme [^ -h {i ~ ^)J'' \ qui a pour facteur xf'{i — x)n " ^ ; cette probabilité est donc

PQ

En la multipliant par la probabilité précédente de x, en intégrant le produit depuis x = o jusqu'à a? = i, et en le divisant par ce même produit multiplié par dz et intégré pour toutes les valeurs positives et négatives de z, on aura la probabilité que le nombre total des boules extraites est ^ +^. On trouvera ainsi, par l'analyse du numéro précédent, cette probabilité égale à

C ^p(l\p - q)Ul+q')

En nommant donc P la probabilité que le nombre des boules extraites dans le second tirage est compris dans les limites ^ ± z, on aura

V ■^pq[p-q)[q-^q)r.

l'intégrale étant prise depuis z = z jusqu'à z infini.