LIVRE II. W

Le résultat observé étant composé d'un très grand nombre d'événements simples, supposons que l'événement futur soit beaucoup moins composé. L'équation qui donne la valeur a' de x, correspondante au

maximum de j^, est

^ dy dz ^

ydx z dx '

fly* • ï

-jr- est une quantité très grande, de l'ordre -•> et, puisque le résultat

dz futur est très peu composé par rapport au résultat observé, —-y- sera

d'un ordre moindre, que nous désignerons par -l-~r- Ainsi, a étant la

valeur de x qui satisfait à l'équation o = -r-, \^ différence entre a e( ' ^ f dx

a' sera très petite de l'ordre a^, et l'on pourra supposer

a' — a-\- (x^ix.

Cette supposition donne

^ ax 1.2 dx^

Mais on a ^^ = o, et il est facile d'en conclure que ;^- est d'un

ordre égal ou moindre que ~; le terme — ^'^^^ ^t^-;; sera par con-

- i ."î-o. . .n \ dx" ^

séquent au plus de l'ordre a"^' "-K Ainsi la convergence de l'expression de Y' en série exige que 1 surpasse {, et dans ce cas Y' ne diffère de Y que de quantités de l'ordre a.2^-\

Si l'on nomme Z ce que devient z lorsqu'on y fait x = «, on s'assurera de la même manière que Z' peut se réduire à Z. Enfin on prouvera

par un raisonnement semblable que ^—3- se réduit à très peu près

d^Y ^ ^ ^ rfx2* ^""^ ^^"'^stituant ces valeurs dans l'expression de P, on aura

c'est-à-dire que l'on peut alors déterminer la probabilité du résultat futur, en supposant x égal à la valeur qui rend le résultat observé le

kOk THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

plus probable. Mais il faut pour cela que le résultat futur soit assez peu composé pour que les exposants des facteurs de z soient d'un ordre de grandeur plus petit que la racine carrée des facteurs de y; autrement, la supposition précédente exposerait à des erreurs sensibles.

Si le résultat futur est une fonction du résultat observé, z sera une fonction dey, que nous représenterons par ^(j). La valeur de x qui rend zy un maximum est, dans ce cas, la même qui rend y un maximum; ainsi l'on a a'= a, et si l'on désigne — y-?-^ par ^'(y), l'expression de P deviendra, en observant que -^ = o,

si (p(y) = y", en sorte que l'événement futur soit n fois la répétition de l'événement observé, on aura

La probabilité P, calculée dans la supposition que la possibilité des événements simples est égale à celle qui rend le résultat observé le plus probable, est Y"; on voit ainsi que les petites erreurs qui résultent de cette supposition s'accumulent à raison des événements simples qui entrent dans le résultat futur, et deviennent très sensibles lorsque ces événements sont en grand nombre.

33. Depuis 1743» époque où l'on a commencé à distinguer à Paris sur les registres les baptêmes des garçons de ceux des filles, on a constamment observé que le nombre des premiers a été supérieur à celui des seconds. Déterminons la probabilité que cette supériorité se maintiendra pendant un temps donné, par exemple, dans l'espace d'un siècle.

Soient p le nombre observé des baptêmes des garçons, q celui des filles, 2.71 le nombre des baptêmes annuels, ce la probabilité que l'en-