X-" -i- 2.nx-"-Ui — x] + — -^ X

La somme des n premiers termes de ce développement sera la probabilité que chaque année le nombre des baptêmes des garçons l'emportera sur celui des baptêmes des filles. Nommons z cette somme; z' sera la probabilité que cette supériorité se maintiendra pendant le nombre i d'années consécutives; donc, si l'on désigne par P la probabilité entière que cela aura lieu, on aura, par le numéro précédent,

fxP dx z^[i — X ]i

~ fxPdx[i — x)i.''

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis X =^0 jusqu'à X ■= i.

Si l'on nomme a la valeur de x qui rend xPz'{i — xy un maximum

,, ,, . r, d7. d^l , . , dz d-^z ,

et que 1 on désigne parZ, ^^ ^— ■ ce que deviennent z, ^, ^^- , lorsqu'on y change x en a, on aura, par le n" 26,

fxP dx z^{i — x)^ =

z étant la somme des n premiers termes de la fonction

r I — X iniin — i)(i — x]"^ ~1

on a, par le n° 37 du Livre P' ,

d7^ — Z rf2"Z 7u'-dx'

M«-' du

-^du '

l'intégrale du numérateur étant prise depuis u — -^^^^ jusqu'à 11= :c> ,

et celle du dénominateur étant prise depuis // = o jusqu'à a = ce . Soit H = — — , cette valeur de z deviendra

fsf^ds{i —s)"-*

l'intégrale du numérateur étant prise depuis ^^o jusqu'à s — x, et celle du dénominateur étant prise depuis s = o jusqu'à 5- = i . De là on tire

dz x"{i — x)«-< z dx ~ J's'Uls\i-- s)"-^ '

l'intégrale du dénominateur étant prise depuis ^ =:: o jusqu'à s = .r. On

aura ensuite

d^z dz n — ( 2 n — I ) .r

z dx- ~~ z dx x[\—x)

En changeant x en a dans ces expressions, on aura celles de Z, dl d^Z "Ldx Z dx'^

Pour déterminer a, nous observerons que la condition du maximum de xPz\ I — xy donne

p a . dZ

a i — a L dx

d'où l'on tire, en substituant pour ^-^ sa valeur précédente,

P la'i^* Il — a]n

p "r q {p-^ q)J's"ds{i — s)"-*

l'intégrale du dénominateur étant prise depuis ^ = o jusqu'à s — a. Pour conclure a de cette équation, nous observerons que la valeur de s qui rend *"(i — s)"-* un maximum est à très peu près ^, et par conséquent moindre que y^-> qui lui-même est plus petit que a. Ainsi, n

étant supposé un grand nombre, on peut, sans erreur sensible, étendre l'intégrale de cette expression de a, depuis s = o jusqu'à s = j, le