LIVRE II. V
Concevons que la valeur de i soit -^^' -+-s; s sera l'erreur de cette
expression de i. On a vu, dans le n° 30, que si l'on a observé que, sur un très grand nombre p d'individus de l'âge a, q sont parvenus à l'âge a -\- X, la probabilité que, sur p autres individus de l'âge «,
— + 5 parviendront à l'âge a^ x, est
Q iqp'ip - q)(p + p')^
Si l'on suppose /? et ç' infinis, on aura évidemment
et, si l'on fait
on aura
ce qui donne à très peu près, en négligeant le carré ~~,
,2 — ^7 visLi.
ainsi la probabilité précédente de z est en même temps la probabilité de cette expression den(^^. Supposons maintenant i = /î<p2 + /; en considérant le binôme [f -+- (i - ç')]", la probabilité de cette expression de î est, par le n'' 16,
iMais la valeur précédente de i devient, en y substituant pour ri'f sa valeur,
nq'- inq' z
la probabilité de cette dernière expression de ^est égale au produit de
OEwres de L. — VU. 5/^
celles de i et de s, trouvées ci-dessus; elle est donc égale à
fia' -2 , 2nq'z
Ayant supposé précédemment i — -^ -f- s, on aura s^i— ~pT.\ ^'n
substituant donc pour / sa valeur tirée de cette équation et observant que l'on a à très peu près % =0, on aura, pour la probabilité que la valeur de s sera comprise dans des limites données, l'expression intégrale ^
" fi ini' z \ 2
ff dz dsc ^?'i-?>P' ^"?^" -^'•' ■3 7: y/n/?' cp=» ( I — cp ) - (, I H- 9)
l'intégrale relative à :; pouvant être prise depuis z=~-^ jusqu'à 5 = 00 . De là, il est facile de conclure, par les métbodes exposées précédemment, que, si l'on fait
l'intégrale précédente devient
k ds
ainsi la probabilité que l'erreur de l'expression i= '^ sera
est
^— f k ds c-'^'^%
v/tt
l'intégrale étant prise depuis s nul.
L'analyse précédente s'applique également à la durée moyenne d'un grand nombre d'associations formées de trois individus ou de quatre individus, etc. Soit n ce nombre, et supposons que tous les associés soient du même âge a au moment de l'association; désignons par/? le nombre des individus de la Table de mortalité de l'âge a, et par q le
