LIVRE II. W

(le -> sa valeur précédente, on aura, après avoir intégré,

qJzcIx ^^^ •

l'équation (3) donnera donc

I —fir dx c-^^'^-^

Cette valeur de U suppose que l'on connaît par l'observation i et /•. Si ces nombres étaient constants, il serait facile de les déterminer; mais, comme ils peuvent varier d'âge en d'âge, les éléments de la formule (3) sont plus aisés à connaître, et cette formule me semble plus propre à déterminer la loi de mortalité qui aurait lieu, si la petite vérole était éteinte. En lui appliquant les données que l'on a pu se procurer sur la mortalité causée par cette maladie, aux divers âges de la vie, on trouve que son extinction au moyen de la vaccine augmenterait de plus de trois années la durée de la vie moyenne, si d'ailleurs cette durée n'était point restreinte par la diminution relative des subsistances, due à un plus grand accroissement de population.

37. Considérons présentement la durée moyenne des mariages. Pour cela concevons un grand nombre n de mariages entre ji garçons de l'âge a, et n filles de l'âge a'; et déterminons le nombre de ces mariages subsistants après a; années écoulées depuis leur origine. Nommons <p la probabilité qu'un garçon qui se marie à l'âge a parviendra à l'âge a-h œ-, et '^ la probabilité qu'une fille qui se marie à l'âge a' parviendra à l'âge a'-\- X. La probabilité que leur mariage subsistera après sa o?'^™^ année sera <p^; donc, si l'on développe le binôme [9'|-f-(i — •p'I')]", le terme H((p^|/)'(i — <p'|)"~' de ce développement exprimera la probabilité que, sur les n mariages, i subsisteront après x années. Le plus grand terme du développement est, par le n° 16, celui dans lequel i est égal au plus grand nombre entier contenu dans [n 4- ij'p^'î ^t, par le même numéro, il est extrêmement probable que le nombre des mariages subsistants ne s'écartera que très peu en plus ou en moins de

ce nombre. Ainsi, en désignant par i le nombre des mariages subsistants, on pourra supposer, à très peu près,

/i(p est à fort peu près le nombre des n maris vivants à l'âge a-\- x. Les Tables de mortalité le feront connaître d'une manière fort approchée, si elles ont été formées sur des listes nombreuses de mortalité ; car, si l'on désigne par/?' le nombre des hommes vivants à l'âge a, sur l'ensemble de ces listes, et par q' le nombre des survivants à l'âge a + X, on aura, à fort peu près, par le n° 29,

nq'

Si l'on nomme pareillement/?" le nombre des femmes vivantes à l'âgée' et par cf le nombre des survivantes à l'âge a -\- x, on aura, à très peu près,

donc

nqY P'P"'

On formera ainsi, d'année en année, une Table des valeurs de i. En faisant ensuite une somme de tous les nombres de cette Table, et en la divisant par n, on aura la durée moyenne des mariages faits à l'âge a pour les garçons et à l'âge a' pour les filles.

Cherchons maintenant la probabilité que l'erreur de la valeur précédente de i sera comprise dans des limites données. Supposons, pour simplifier le calcul, que les deux conjoints soient du même âge, et que la probabilité de la vie des hommes soit la même que celle des femmes; alors on a

et l'expression précédente de ? devient