LIVRE IL

u'^ f^\ ... les valeurs de u, ^' •••' correspondantes à ^ = i et à X =:n-+- 1; on aura

^i.^.(i-/>)4W^V ^ U^vJ

Si ?/ ou ^ est constant et égal à l'unité, depuis x = i jusqu'à x = n, alors la rente viagère doit être payée certainement pendant le nombre n d'années, et elle devient une annuité. Dans ce cas, ^ est nul, et la formule précédente donne ^ZLiZlZ^îJ pour le capital équivalent à l'annuité h.

Si zf = 1 — -, alors la probabilité de la vie décroît en progression

arithmétique, et la formule précédente donne

pour le capital équivalent à la rente viagère A, et ainsi de suite.

Supposons maintenant que l'on veuille constituer une rente viagère A sur plusieurs individus des âges A, A -i- a, A -h a -^ a', . . ., de sorte que la rente reste au survivant. Désignons par j^, j^+«, jx+aW» • • • les nombres de la Table de mortalité, correspondants aux âges A, A-\-a, A-ha-ha', ...,\'à probabilité qu'a le premier individu de vivre à ï-due A-hx étant — » la probabilité qu'à cet âge il aura cessé de vivre est i— — • Pareillement, la probabilité qu'a le deuxième individu de vivre à l'âge A -h a + ^ ou à la fm de la ic"'^"^ année de la constitution de la rente étant "^^^^^) la probabilité qu'il aura cessé de vivre alors est i — ^^^^j la probabilité que le troisième individu aura cessé de vivre, à la même époque de la constitution de la rente, est

ï - • L'^"^'' > et ainsi de suite. La probabilité qu'aucun de ces individus n'existera à cette époque est donc

En retranchant ce produit de l'unité, la différence sera la probabilité qu'un de ces individus au moins sera vivant à la fin de la a?'""^ année de la constitution de la rente. Nommons u cette probabilité; Ihp'^u sera le capital actuel équivalent à la rente viagère h. Mais on doit observer, en p-renant cette intégrale, que les quantités j^, y^^„, . . . sont nulles, lorsque leurs indices x, ao^a, ... surpassent lé nombre n, A + /^ étant la limite de la vie.

Si j^ est une fonction rationnelle et entière de x, et d'exponentielles telles que ^^, r^, . . ., on aura facilement, par les formules du Livre I", l'intégrale hlp'^n; mais on peut dans tous les cas former, au moyen d'une Table de mortalité, tous les termes de cette intégrale, en prendre la somme et construire ainsi des Tables de rentes viagères sur une ou plusieurs têtes.

L'analyse précédente sert pareillement à déterminer la rente viagère que l'on doit faire à un établissement pour assurer à ses héritiers un capital après sa mort. Le capital équivalent à la rente viagère A, faite à une personne de l'âge A, est, par ce qui précède, AS P^, le si^ne S comprenant tous les termes inclusivement, depuis ce = i jusqu'à la limite de la vie de la personne. Nommons hq cette intégrale, et imaginons que l'établissement reçoive de cette personne la rente h, et lui donne en échange le capital hq. Concevons ensuite que la même personne place ce capital à intérêt perpétuel sur l'établissement lui-même, l'intérêt annuel de l'unité étant r ou -^- Il est clair que l'établissement doit rendre le capital hq aux héritiers de la personne. Mais elle a fait pendant sa vie la rente h à l'établissement, et elle en a reçu la rente

-^-^"^^^ la rente qu'elle a faite réellement est donc hï i - ilinZil-