LIVRE IL

c'est donc ce qu'elle doit donner annuellement à l'établissement pour assurer à ses héritiers le capital hq.

Je n'insisterai pas davantage sur ces objets, ainsi que sur ceux qui sont relatifs aux établissements d'assurance de tout genre, parce qu'ils ne présentent aucune difficulté. J'observerai seulement que tous ces établissements doivent, pour prospérer, se réserver un bénéfice et multiplier considérablement leurs affaires, afin que, leur bénéfice réel devenant presque certain, ils soient exposés le moins qu'il est possible à de grandes pertes qui pourraient les détruire. En effet, si le nombre des affaires est s et si l'avantage de l'établissement dans chacune d'elles est h, alors il devient extrêmement probable que le bénéfice réel de l'établissement sera sh, s étant supposé un très grand nombre.

Pour le faire voir, supposons que s personnes de l'âge A constituent, chacune sur sa tête, une rente viagère h, et considérons une de ces personnes que nous désignerons par C. Si C meurt dans l'intervalle de la fin de l'année x écoulée depuis la constitution de sa rente à la fin de l'année x-\-\, l'établissement lui aura payé la rente h pendant X années, et la somme de ces payements, réduite en capital actuel, sera h[p ^ p'' +. . .-\- p^) ou 2A/?^+'; or la probabilité que C mourra

dans cet intervalle est^"-^-^-^' ou - ^-^^5 la valeur de la perte que

l'établissement doit alors supporter est donc — ^^^"2^/?^+'. La somme de toutes ces pertes est

c'est le capital que G doit versera la caisse de l'établissement pour en recevoir la rente viagère A. On peut observer ici que l'on a

- Ar.rip'^^' = - x.v+i ip^-^' -hr.v^p-' -4- r^p-^-;

en intégrant le second membre de celte équation, la fonction (/•) se réduit à *

- •^1/ip'^-^ ^t + const.;

or Ip"" se réduit à zéro, lorsque x = \, et lorsque ^ = n + i, y^ est nul par ee qui précède; la fonction (r) ou le capital que C doit payer à

l'établissement est donc ^-^, ce qui est conforme à ce qui précède.

Mais sous la forme de la fonction (r) on peut appliquer au bénéfice de l'établissement l'analyse du n" 39. En effet, on a dans ce cas, par le numéro cité,

ensuite a, a, ... étant les valeurs successives de ^j on aura

rtv2 + a'v'

en sorte que

En supposant que chacune des s personnes qui constitue la rente h sur sa tête verse à la caisse de l'établissement, outre le capital correspondant à cette rente, une somme b, pour subvenir aux frais de l'établissement, on aura, parle n'' 39,

pour la probabilité que le bénéfice réel de l'établissement sera compris

dans les limites

sb ±1 hr' sjs .

Ainsi, dans le cas d'un nombre infini d'affaires, le bénéfice réel de l'établissement devient certain et infini. Mais alors ceux qui traitent avec lui ont un désavantage mathématique qui doit être compensé par un avantage moral, dont l'appréciation va être l'objet du Chapitre suivant.