P2OC

= pi «1

On aura pareillement le système d'équations

p30C3=p'3^ z-hp^qzz' + panz".

/"s «3 =^ Pari z -\- q-i rs 2' H- H,^' 2",

en faisant

on aura encore

en faisant

en faisant

= pr -

Piti

Paqs

PZCC3 =PiO(.2 '-— âj J

picc^ = p\^^ z + p^q^z'.

q',<Xi =p^qr,z -h q[^^z'.

pr

=pr -

— p^qz -

Psr^

P3 ra qs r^

Enfin on aura

^) psa.ô = p^i^z,

(2) „(2) Ziii , -^77-r A'^^^9»«^.

»',^' est la valeur de Spf-, et le poids P sera

2Se'"')2'

On voit par la suite des valeurs de p^^\ p^^\ p[^\ ... qu'elles vont en diminuant sans cesse, et qu'ainsi, pour le même nombre d'observations, le poids P diminue quand le nombre des éléments augmente. Si l'on considère la suite des équations qui déterminent /?5a5, on

voit que cette fonction, développée suivant les coetficients du système des équations (A), est de la forme

/?a -H M ^ a 4- N ra + . . . ,

le coefficient de yoa étant l'unité. Il suit de là que si l'on résout les équations (A), en y laissant px, «/a, ra, ... comme indéterminées,

-707 sera, en vertu de l'équation (F), le coefficient de pa. dans l'exprèssion de z. Pareillement, -^ sera le coefficient de qv. dans l'expression de z'; — j^ sera le coefficient de ra dans l'expression de z"; et ainsi du

reste; ce qui donne un moyen simple d'obtenir /?'/', q^^\ ...; mais il est plus simple encore de les déterminer ainsi.

D'abord l'équation (F) donne la valeur de />g-' et de :;. Si dans le système des équations (E) on élimine z au lieu de z', on aura une seule équation en z' , de la forme

n faisant

gr,x, = qi^'z'

Si dans le système des équations (D) on élimine z au lieu de z", pour ne conserver à la fin du calcul que z", on aura r[,-' en changeant dans la suite des équations qui, à partir de ce système, déterminent p^^\ la lettre p dans la lettre r, et réciproquement. On aura ainsi

P%ri P^

" /"îtÇs -

PsÇzPsr-t

= gr -

PsÇs

" pT '

Pour avoir i'/', on partira du système des équations (C), en changeant, dans la suite des valeurs de jOg"', p^q.^, .. ., r^^\ q^r^, . . ., la lettre/? dans la lettre t, et réciproquement.

On aura pareillement la valeur de y!;^', en partant du système des équations (B) et changeant dans la suite des valeurs de /?'/',/?!,"', ..., la lettre/? dans la lettre y, et réciproquement.

Enfin, on aura la valeur de X^"' en changeant, dans la suite des valeurs de />7',/^2^', • • •' 1^ lettre p dans la lettre X, et réciproquement.

3. L'erreur dont la valeur de z est susceptible étant w, sa probabilité

est, comme on l'a vu,

En la multipliant par udu et prenant l'intégrale depuis u nul jusqu'

// infini, on aura

pour l'erreur moyenne à craindre en plus dans la valeur de z. Cette expression affectée du signe — sera l'erreur moyenne à craindre en moins sur cette valeur. J'ai donné dans le n^ 21 du Livre II l'expression analytique de ces erreurs moyennes, quel que soit le nombre des éléments. On aura donc, en la comparant à la précédente, la valeur de P, et il est facile de reconnaître l'identité de ces expressions. On trouve ainsi, dans le cas d'un seul élément.

sp

Si l'on fait généralement, pour un nombre quelconque d'éléments,

on trouve, pour deux éléments,

SUPPLEMENTS. 513

En appliquant ces résultats aux équations (E), on aura la valeur de P relative à l'élément z.

On trouve, pour trois éléments,

A = pW qW ^^) — p(.^'< qr' — q(^^pr' ~ r<^^^pq'+ 2pq prqr,

Ces résultats appliqués aux équations (D) donneront la valeur de P relative à l'élément z.

En continuant ainsi, on aura, quel que soit le nombre des éléments, le poids relatif au premier élément:;. En changeant dans son expression /) en ^ et 7 en p, on aura le poids relatif au deuxième élément z'. En changeant, dans l'expression du poids du premier élément, p en / et r en p, on aura le poids relatif au troisième élément z", et ainsi de suite. Mais, lorsque le nombre des éléments surpasse trois, il est beaucoup plus simple de faire usage de la méthode du numéro précédent.

Nous observerons ici que l'erreur moyenne à craindre sur chaque élément étant, par les n°'20 et 21 du Livre II, plus petite dans le système de facteurs qui constitue la méthode la plus avantageuse que dans tout autre système, la valeur de P y est la plus grande possible. Ainsi, pour une même erreur d'un élément dans cette méthode, la probabilité est plus petite que dans toute autre méthode, ce qui assure sa supériorité.

4. Toute mon analyse repose sur l'hypothèse que la facilité des erreurs est la même pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives; ce qui rend nulle l'intégrale du produit de l'erreur par sa probabilité et par sa différentielle, l'intégrale étant prise dans toute l'étendue des limites des erreurs, et l'origine des erreurs étant au milieu de l'intervalle qui sépare ces limites. Mais, si la loi de facilité est différente pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives,

OEnvres de L. — \\\. 65

alors l'intégrale précédente ne devient nulle que dans le cas où cette origine est au point de l'abscisse par où passe l'ordonnée du centre de gravité de la courbe, dont les ordonnées représentent la loi de facilité des erreurs représentées elles-mêmes par les abscisses. Pour tout autre point, l'erreur moyenne de l'observation est cette intégrale divisée par l'intervalle des limites ; et, si l'on a un grand nombre d'observations, la moyenne des erreurs de ces observations sera, par ce que l'on a vu dans le Livre II, égale à très peu près à ce quotient. En faisant donc en sorte que la somme des erreurs soit nulle, on pourra supposer nulle l'intégrale dont nous venons de parler, et alors toute mon analyse subsiste et devient indépendante de l'hypothèse d'une égale facilité des erreurs positives et des erreurs négatives. On peut toujours obtenir cet avantage en ajoutant aux équations de condition un élément indéterminé dont le coefficient soit l'unité. C'est ce qui a lieu de soi-même dans les équations de condition relatives au mouvement des planètes en longitude; car la correction de l'époque y a pour coefficient l'unité. Mais, l'addition d'un élément affaiblissant, comme nous l'avons dit, la probabilité des erreurs des autres éléments, probabilité qui, pour le même nombre d'observations, diminue quand le nombre des éléments qui s'appuient sur elles est plus grand, il ne faut recourir à cette addition que lorsque l'on peut craindre qu'une cause constante favorise plutôt les erreurs d'un signe que celles du signe contraire. Au reste, on s'en assurera facilement, en faisant la somme des restes positifs et celle des restes négatifs des équations de condition, lorsqu'on y aura substitué les valeurs des éléments déterminés par la méthode la plus avantageuse, sans l'addition dont on vient de parler et en voyant si l'excès de l'une de ces sommes sur l'autre indique une cause constante.

Pour ne laisser aucun doute sur cet objet, je vais y appliquer le calcul. Il résulte du n°22 du Livre II que la probabilité que la somme des erreurs des observations éfi^ale

"g) ali

1^ s + ar^s

est proportionnelle à l'exponentielle

Cette somme est Se''\ et, par le n" 1, on a

Se('' = Ss't'' + S(/?(') w + q^^hi +...)• Par la nature des équations finales, on a Ss'^'^ — o; on a donc

ni,'

'i" s^arsls = ^[ pf) u -h (/"■) «' + ...)• Si l'on fait, comme dans ce numéro, u — --=, u r= —=, .-., on aura ainsi

k as ^"^

Ainsi V est de l'ordre 4., et son carré est de l'ordre -; on peut donc

le négliger, eu égard à 4- La probabilité de l'existence simultanée de r, (', i^', ... est ainsi proportionnelle à l'exponentielle

f,~ ïk" ' ~î S zi')*

En la multipliant par dr,dv', ..., en l'intégrant par rapport à r, v', ('", .. ., depuis l'infini négatif jusqu'à l'infini positif, on aura une quantité proportionnelle à la probabilité de v. En multipliant donc cette quantité par c?^ et en prenant l'intégrale dans des limites données, en la divisant ensuite par cette môme intégrale prise depuis r = — oo jusqu'à ç'^-f- 00 , on aura la probabilité que la valeur de c'est contenue dans ces limites. On voit ainsi que la considération des valeurs que k peut avoir et dont dépend la différence de probabilité des erreurs positives et négatives n'a aucune influence sensible sur les résultats de la métliode générale exposée ci-dessus.

5. Appliquons maintenant cette méthode à un exemple. Pour cela, j'ai profité de l'immense travail que Bouvard vient de terminer sur les mouvements de Jupiter et de Saturne, dont il a construit des Tables très précises. Il a fait usage de toutes les oppositions observées par Bradley et par les astronomes qui l'ont suivi : il les a discutées de nouveau et avec le plus grand soin, ce qui lui a donné 126 équations de condition pour le mouvement de Jupiter en longitude et 129 équations pour le mouvement de Saturne. Dans ces dernières équations, Bouvard a fait entrer la masse d'Uranus comme indéterminée. Voici les équations finales qu'il a conclues par la méthode la plus avantageuse :

— ioo2",9oo = 26022 + 57222'

Dans ces équations, la masse d'Uranus est supposée ^-t4', la masse

de Jupiter est supposée -^^^. " ; z" est le produit de l'équation du centre

par la correction du périhélie employé d'abord par Bouvard ; :;'" est la correction de l'équation du centre; s'^ est la correction séculaire du moyen mouvement; ^^ est la correction de l'époque de la longitude au commencement de lySo. La seconde du degré décimal est prise pour unité.

Au moyen des équations précédentes renfermées dans le système (A), j'ai conclu les suivantes, renfermées dans le système (B) :

De ces équations, j'ai tiré les quatre suivantes, renfermées dans le système (C),

245",587or=6798,4i2 — 151992,02'+ 71,73812"— 3,74012"',

ces dernières équations donnent les suivantes, renfermées dans le système (D),

Enfin j'ai conclu de là les deux équations suivantes, renfermées dans le système (E) :

Je m'arrête à ce système, parce qu'il est facile d'en conclure les valeurs du poids P relatives aux deux éléments - et -'que je désirais par-

ticuliërement de connaitre. Les formules du n" 3 donnent, pour z,

et, pour 5',

2Se'">4 ^^ ^ 1844^ J Le nombre s des observations est ici 129 et Bouvard a trouvé

on a donc, pour z-,

logP=r 2,0013595

et, pour z',

IogP = 5,0778624.

Les équations précédentes donnent

z'= — o,oo3o5, z = 0,08916.

La masse de Jupiter est 7^6^-- (i + -')• En substituant pour ::' sa

valeur précédente, cette masse devient — ' — • La masse du Soleil est

prise pour unité. La probabilité que l'erreur de z' est comprise dans

les limites =t U est, par le n° 1,

l'intégrale étant prise depuis u = ~l] jusqu'à 11 = U. On trouve ainsi la probabilité que la masse de Jupiter est comprise dans les limites

, , lOOOOOO ^ ,., ....

^'^ ^ ?ô^ooi' ^" ^^^^ ^" " y ^ "" million a très peu près à parier contre un que la valeur --—^^ n'est pas en erreur d'un centième de sa valeur; ou, ce qui revient à fort peu près an même, qu'après un siècle

SUPPLEMENTS. 519

de nouvelles observations, ajoutées aux précédentes et discutées de la même manière, le nouveau résultat ne différera pas du précédent d'un centième de sa valeur.

Newton avait trouvé, par les observations de Pound, sur les élongations des satellites de Jupiter, la masse de cette planète égale à la 1067^ partie de celle du Soleil, ce qui diffère très peu du résultat de Bouvard.

La masse d'Uranus est -^- En substituant pour ^ sa valeur précédente, cette masse devient La probabilité que cette valeur est

comprise dans des limites

est égale à ^^' et la probabilité que cette masse est comprise dans les limites

est eeale a ^ ^- " 210,0

Les perturbations qu'Uranus produit dans le mouvement de Saturne étant peu considérables, on ne doit pas encore attendre des observations de ce mouvement une grande précision dans la valeur de sa masse. Mais, après un siècle de nouvelles observations, ajoutées aux précédentes et discutées de la même manière, la valeur de P augmentera de manière à donner cette masse avec une grande probabilité que sa valeur sera contenue dans d'étroites limites; ce qui sera do beaucoup préférable à l'emploi des élongations des satellites d'Uranus, à cause de la difficulté d'observer ces élongations.

Bouvard, en appliquant la méthode précédente aux 126 équations de condition que lui ont données les observations de Jupiter et en

supposant la masse de Saturne égale à ô?ô7— 0' » trouvé

et

l0gP=: 4,8856829.

Ces valeurs donnent la masse de Saturne égale à ^ ' > et la probabilité que cette masse est comprise dans les limites

est égale à

35ic>-,3 100 3534,08

Newton avait trouvé, par les observations de Pound sur la plus grande élongation du quatrième satellite de Saturne, la masse de cette planète égale à ^ — , ce qui surpasse d'un sixième le résultat précédent. Il y a des millions de milliards à parier contre un que celui de Newton est en erreur, et l'on n'en sera point surpris si l'on considère la difficulté d'observer les plus grandes élongations des satellites de Saturne. La facilité d'observer celles des satellites de Jupiter a rendu, comme on l'a vu, beaucoup plus exacte la valeur que Newton a conclue des observations de Pound.

De la probabilité des Jugements.

J'ai assimilé, dans le n** 50 du Livre II, le jugement d'un tribunal qui prononce entre deux opinions contradictoires au résultat des témoignages de plusieurs témoins de l'extraction du numéro d'une urne qui ne contient que deux numéros. Il y a cependant entre ces deux cas cette différence, savoir, que la probabilité du témoignage est indépendante de la nature de la chose attestée, parce que l'on suppose que le témoin n'a pu se tromper sur cette chose; au lieu qu'un objet en litige peut être environné d'obscurités telles, que les juges, en leur supposant toute la bonne foi désirable, peuvent être cependant d'avis contraires. La nature de l'affaire qui leur est soumise doit donc influer sur leur jugement. Je vais faire entrer cette considération dans les recherches suivantes, en l'appliquant aux jugements en matière criminelle.

Il faut sans doute aux juges, pour condamner un accusé, les plus fortes preuves de son délit. Mais une preuve morale n'est jamais qu'une probabilité, et l'expérience n'a que trop fait connaître les erreurs dont

les jugements criminels, ceux même qui paraissent être les plus justes, sont encore susceptibles. La possibilité de réparer ces erreurs est le plus solide argument des philosophes qui ont voulu proscrire la peine de mort. Nous devrions donc nous abstenir de juger, s'il nous fallait attendre l'évidence mathématique. Mais, lorsque les preuves ont une force telle que le produit de l'erreur à craindre par sa faible probabilité soit inférieure au danger qui résulterait de l'impunité du crime, le jugement est commandé par l'intérêt de la société. Ce jugement se réduit, si je ne me trompe, à la solution de la question suivante : La preuve du délit de l'accusé a-t-elle le haut degré de probabilité nécessaire pour que les citoyens aient moins à redouter les erreurs des tribunaux, s'il est innocent et condamné, que ses nouveaux attentats et ceux des malheureux qu'enhardirait l'exemple de son impunité, s'il était coupable et absous? La solution de cette question dépend de plusieurs éléments très difficiles à connaître. Telle est l'imminence du danger qui menacerait la société si l'accusé criminel restait impuni. Quelquefois, ce danger est si grand que le magistrat se voit obligé de renoncer aux formes sagement établies pour la sûreté de l'innocence. Mais ce qui rend presque toujours la question dont il s'agit insoluble est l'impossibilité d'apprécier exactement la probabilité du délit, et de fixer celle qui est nécessaire pour la condamnation de l'accusé. Chaque juge, à cet égard, est forcé de s'en rapporter à son propre tact. II forme son opinion en comparant les divers témoignages et les circonstances dont le délit est accompagné aux résultats de ses réflexions et de son expérience; et, sous ce rapport, une longue habitude d'interroger et de juger les accusés donne beaucoup d'avantages pour saisir la vérité au milieu d'indices souvent contradictoires.

La question précédente dépend encore de la grandeur de la peine appliquée au délit; car on exige naturellement, pour prononcer la mort, des preuves beaucoup plus fortes que pour infliger une détention de quelques mois. C'est une raison de proportionner la peine au délit, une peine grave appliquée à un léger délit devant inévitablement faire absoudre beaucoup de coupables. Le produit de la probabi-

OEuvres de L.— \n. gg

lité du délit par sa gravité étant la mesure du danger que l'absolution de l'accusé peut faire éprouver à la société, on pourrait penser que la peine doit dépendre de cette probabilité. C'est ce que l'on fait indirectement dans les tribunaux où l'on retient pendant quelque temps l'accusé contre lequel s'élèvent des preuves très fortes, mais insuffisantes pour le condamner. Dans la vue d'acquérir de nouvelles lumières, on ne le remet point sur-le-champ au milieu de ses concitoyens, qui ne le reverraient pas sans de vives alarmes. Mais l'arbitraire de cette mesure et l'abus qu'on en peut faire l'ont fait rejeter dans les pays où l'on attache un très grand prix à la liberté individuelle.

Maintenant, quelle est la probabilité que la décision d'un tribunal qui ne peut condamner qu'à une majorité donnée sera juste, c'està-dire, conforme à la vraie solution de la question posée ci-dessus? Ce problème important bien résolu donnera le moyen de comparer entre eux les tribunaux divers. La majorité d'une seule voix dans un nombreux tribunal indique que l'affaire dont il s'agit est à peu près douteuse; la condamnation de l'accusé serait donc alors contraire aux principes d'humanité, protecteurs de l'innocence. L'unanimité des juges donnerait une très grande probabilité d'une décision juste ; mais, en s'y astreignant, trop de coupables seraient absous. Il faut donc ou limiter le nombre des juges, si l'on veut qu'ils soient unanimes, ou accroître la majorité nécessaire pour condamner, lorsque le tribunal devient plus nombreux. Je vais essayer d'appliquer le calcul à cet objet, persuadé que les applications de ce genre, lorsqu'elles sont bien conduites et fondées sur des données que le bon sens nous suggère, sont toujours préférables aux raisonnements les plus spécieux.

La probabilité que l'opinion de chaque juge est juste entre comme élément principal dans ce calcul. Cette probabilité est évidemment relative à chaque affaire. Si, dans un tribunal de mille et un juges, cinq cent un sont d'une opinion, et cinq cents sont d'une opinion contraire, il est visible que la probabilité de l'opinion de chaque juge surpasse bien peu ^; car, en la supposant sensiblement plus grande, une seule voix de différence serait un événement invraisemblable. Mais, si les juges sont

unanimes, cela indique dans les preuves ce degré de force qui entraîne la conviction. La probabilité de l'opinion de chaque juge est donc alors très près de l'unité ou de la certitude ; à moins que des passions ou des préjugés communs n'égarent tous les juges. Hors de ces cas, le rapport des voix pour ou contre l'accusé doit seul déterminer cette probabilité. Je suppose ainsi qu'elle peut varier depuis i jusqu'à l'unité, mais qu'elle ne peut être au-dessous de f Si cela n'était pas, la décision du tribunal serait insignifiante comme le sort : elle n'a de valeur qu'autant que l'opinion du juge a plus de tendance à la vérité qu'à l'erreur. C'est ensuite par le rapport des nombres de voix favorables ou contraires à l'accusé que je détermine la probabilité de cette opinion.

Ces données suffisent pour avoir l'expression générale de la probabilité que la décision du tribunal jugeant à une majorité donnée est juste. Dans nos tribunaux spéciaux composés de huit juges, cinq voix sont nécessaires pour la condamnation d'un accusé : la probabilité de l'erreur à craindre sur la justesse de la décision surpasse alors \. Si le tribunal était réduit à six membres qui ne pourraient condamner qu'à la pluralité de quatre voix, la probabilité de l'erreur à craindre serait alors au-dessous de ^ ; il y aurait donc pour l'accusé un avantage à cette réduction du tribunal. Dans l'un et l'autre cas, la majorité exigée est la même et égale à deux. Ainsi, cette majorité demeurant constante, la probabilité de l'erreur augmente avec le nombre des juges. Cela est général, quelle que soit la majorité exigée, pourvu qu'elle reste la même. En prenant donc pour règle le rapport arithmétique, l'accusé se trouve dans une position de moins en moins avantageuse à mesure que le tribunal devient plus nombreux. Ce rapport est suivi dans la Chambre des pairs d'Angleterre. On y exige pour la condamnation une majorité de douze voix, quel que soit le nombre des juges. Si l'on a cru que, les voix opposées se détruisant réciproquement, les douze voix restantes représentent l'unanimité d'un jury de douze membres, exigée dans le même pays pour la condamnation d'un accusé, on a été dans une grande erreur. Le bon sens fait voir qu'il y a différence entre la décision d'un tribunal de deux cent douze juges, dont cent douze

52i THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

condamment l'accusé, tandis que cent l'absolvent, et celle d'un tribunal de douze juges unanimes pour la condamnation. Dans le premier cas, les cent voix favorables à l'accusé autorisent à penser que les preuves sont loin d'atteindre le degré de force qui entraîne la conviction. Dans le second cas, l'unanimité des juges porte à croire qu'elles ont atteint ce degré. Mais le simple bon sens ne suffit pas pour apprécier l'extrême différence de la probabilité de l'erreur dans ces deux cas. Il faut alors recourir au calcul, et l'on trouve à très peu près | pour la probabilité de l'erreur dans le premier cas, et seulement ■—; pour cette probabilité dans le second cas, probabilité qui n'est pas ~^ de la première. C'est une confirmation du principe que le rapport arithmétique est défavorable à l'accusé quand le nombre des juges augmente. Au contraire, si l'on prend pour règle le rapport géométrique, la probabilité de l'erreur de la décision diminue quand le nombre des juges s'accroît. Par exemple, dans les tribunaux qui ne pourraient condamner qu'à la pluralité des deux tiers des voix, la probabilité de l'erreur à craindre est à peu près \ si le nombre des juges est six : elle est au-dessous de \ si ce nombre s'élève à douze. Ainsi l'on ne doit se régler ni sur le rapport arithmétique, ni sur le rapport géométrique, si Ton veut que la probabilité de l'erreur ne soit jamais au-dessus ni au-dessous d'une fraction déterminée.

Mais à quelle fraction doit-on se fixer? C'est ici que l'arbitraire commence, et les tribunaux offrent à cet égard de grandes variétés. Dans les tribunaux spéciaux, où cinq voix sur huit suffisent pour la condamnation de l'accusé, la probabilité de l'erreur à craindre sur la bonté du jugement est ^yg ou au-dessous de \. La grandeur de cette fraction est effrayante; mais ce qui doit rassurer un peu est la considération que, le plus souvent, le juge qui absout un accusé ne le regarde pas comme innocent. Il prononce seulement qu'il n'est pas atteint par des preuves suffisantes pour qu'il soit condamné. On est surtout rassuré par la pitié que la nature a mise dans le cœur de l'homme, et qui dispose l'esprit à voir difficilement un coupable dans l'accusé soumis k son jugement. Ce sentiment, plus vif dans ceux qui n'ont point

l'habitude des jugements criminels, compense les inconvénients attachés à l'inexpérience des jurés. Dans un jury de douze membres, si la pluralité exigée pour la condamnation est de huit voix sur douze, la probabilité de l'erreur à craindre est if^f ou un peu moindre que i : elle est à peu près ,^ si cette pluralité est de neuf voix. Dans le cas de l'unanimité, la probabilité de l'erreur à craindre est ^, c'est-à-dire plus de mille fois moindre que dans nos jurys.

La solution du problème que nous venons de considérer ne suffit pas pour fixer la majorité convenable, dans un tribunal d'un nombre quelconque de juges. 11 faut, pour cela, connaître la probabilité du délit au-dessous de laquelle un accusé ne peut être condamné, sans que les citoyens aient plus à redouter les erreurs des tribunaux, que les attentats qui pourraient naître de l'impunité d'un coupable absous. Il faut ensuite déterminer la probabilité du délit résultante de la décision du tribunal et fixer la majorité de manière que ces probabilités soient égales. Mais il est impossible de les obtenir. La première est, comme nous l'avons dit, relative à la position dans laquelle la société se trouve, position variable, très difficile à bien définir et toujours trop compliquée pour être soumise au calcul. La seconde dépend d'une chose entièrement inconnue, la loi de probabilité de l'opinion de chaque juge dans l'estimation qu'il fait de la probabilité du délit. Vu notre ignorance de ces deux éléments du calcul, quoi de plus raisonnable que de partir de la solution du seul problème que nous puissions résoudre dans cette matière, celui de la probabilité de l'erreur de la décision d'un tribunal? Cette probabilité me paraît trop forte dans nos tribunaux, et je pense qu'à cet égard il convient de se rapprocher du jury anglais où elle n'est que ^{-^~. En la fixant à la fraction -^ et en déterminant la majorité nécessaire pour l'atteindre, on place l'accusé dans la position où il serait vis-à-vis d'un jury de neuf membres, dont on exigerait l'unanimité; ce qui me paraît garantir suffisamment l'innocence des erreurs des tribunaux, et la société des maux que produirait l'impunité des coupables. Il doit être extrêmement rare alors qu'un accusé soit condamné avec une probabilité moindre que celle

qui est nécessaire à sa condamnation; car la majorité qui le condamne déclare que la probabilité de son délit est au moins égale à cette probabilité nécessaire : la minorité qui l'absout déclare que la première de ces probabilités lui paraît inférieure à la seconde; mais il est naturel de croire que cette infériorité est peu considérable. Il devra donc rarement arriver que la probabilité moyenne qui résulte de l'ensemble des jugements des membres du tribunal soit inférieure à la probabilité requise pour la condamnation de l'accusé, si l'on réduit, par une majorité convenable, la probabilité de l'erreur à craindre sur la justesse de la décision, à la fraction ^^^r- L'analyse fournit, pour avoir cette majorité, des formules que je vais exposer ici et qu'il est facile de réduire dans une Table dépendante du nombre des juges. Mais une pareille Table paraîtra trop arbitraire au commun des hommes qui préféreront toujours l'un ou l'autre des rapports arithmétique et géométrique qu'ils peuvent aisément concevoir.

1. Le juge ne doit pas, pour condamner un accusé, attendre l'évidence mathématique qu'il est impossible d'atteindre dans les choses morales. Mais, lorsque la probabilité du délit est telle que les citoyens aient plus à redouter les attentats qui pourraient naître de son impunité que les erreurs des tribunaux, l'intérêt de la société exige la condamnation de l'accusé. Je nomme a ce degré de probabilité, et je suppose que le juge qui condamne un accusé prononce par là que la probabilité de son délit est au moins a. Je nomme x la probabilité de cette opinion du juge, probabilité que je supposerai égale ou supérieure à i, et variant par des degrés infiniment petits, égaux à ^ et également probables a priori. Je suppose encore que le tribunal est composé de /? + ^ juges, dont p condamnent l'accusé et q l'absolvent. La probabilité que l'opinion du tribunal est juste sera proportionnelle à xP{i - x'f, et la probabilité qu'elle ne l'est pas sera proportionnelle à (i - xyx'i-, la probabilité de la bonté du jugement sera donc, par le

n** 1 du Livre 11,

xP{\ — xY

Il faut multiplier cette quantité par la probabilité de la valeur de x, prise de l'événement observé. Cet événement est que le tribunal s'est divisé en deux parties dont l'une, composée de/? juges, condamne l'accusé, et dont l'autre, formée de q juges, l'absout. La probabilité de x est donc la fonction xp{i - x)'' + [\ - x)px'i divisée par la somme de toutes les fonctions semblables relatives à toutes les valeurs de x, depuis x~T^ jusqu'à ^ = i ; elle est par conséquent

\xP[\ — x]i -h (i— r)Px')']dx fxP dx[i — x)'i

l'intégrale du dénominateur étant prise depuis ^ ^ o jusqu'à x=\ . En multipliant cette fonction par la fonction (a), on aura

xP{\ — x]'i dx

J'xP dx[\ — x)i

pour la probabilité de la bonté du jugement relative à x. La même probabilité relative à toutes les valeurs de x est donc

fxP dx[i — x)i (*) JxPdx[i-^'i'

l'intégrale du numérateur étant prise depuis x — r, jusqu'à x—\, et celle du dénominateur étant prise depuis x = o jusqu'à x~ i. 11 suit de là que la probabilité de l'erreur à craindre sur la bonté du jugement est encore exprimée par la formule [h), pourvu que l'on prenne l'intégrale du numérateur depuis x = o jusqu'à x = J. On trouve ainsi cette dernière probabilité égale à

Si Ton exige l'unanimité, q est nul, et cette expression devient -^-'

2. Déterminons présentement la probabilité de l'erreur à craindre sur la justesse de la décision d'un tribunal, lorsque p ei q sont de

grands nombres; ce qui rend la formule (c) très difficile à évaluer en nombres. Il faut distinguer ici deux cas, l'un dans lequel p — q est considérable, l'autre dans lequel p — q est assez petit. Dans le premier cas, on fera usage de la formule (o) du n° 28 du Livre II qui donne, pour la probabilité de l'erreur.

[e] — JP-irl] 1 L p + g LiP±i)Lz:llPJ} j,

2 ^p ^q ^p—q'j^TT: m ^ r^\r ^i

- étant la circonférence dont le diamètre est l'unité.

Dans le second cas, oii p — q est un petit nombre relativement à p, on trouvera facilement, par l'analyse du n** 19 du Livre II, la probabilité de l'erreur à craindre égale à

\/Tr l'intégrale étant prise depuis

8pq jusqu'à l'infini.

Pour donner un exemple de cbacune de ces formules, supposons un tribunal formé de i44 juges, et qu'il faille les f pour la condamnation de l'accusé. Alors on a

et la formule [e) donne ~ pour la probabilité de l'erreur à craindre sur la bonté de la décision du tribunal. Dans le cas de l'unanimité d'un jury de huit membres, la probabilité de l'erreur à craindre est ~; l'accusé est donc alors dans une position plus favorable que vis-à-vis d'un semblable jury.

Supposons le tribunal formé de 212 juges et qu'une majorité de douze voix suffise pour la condamnation. Dans ce cas

p-hq = 2i2, p — q~]^^

et la formule (/) donne >-^ pour la probabilité de l'erreur à craindre.

Sur une disposition du Code d'instniction criminelle.

L'article 351 du Gode d'instruction criminelle est ainsi conçu : « Si néanmoins l'accusé n'est déclaré coupable qu'à une simple ma- » jorité, les juges délibéreront entre eux sur le même point; et si » l'avis de la minorité des jurés est adopté par la majorité des juges, » de telle sorte qu'en réunissant le nombre des voix, ce nombre excède )) celui de la majorité des jurés et de la minorité des juges, l'avis favo- » rable à l'accusé prévaudra. «

D'après cet article, sept jurés déclarant l'accusé coupable et cinq le déclarant non coupable, l'accusé est condamné lorsque trois seulement des cinq juges de la Cour d'assises se réunissent à la minorité des jurés. Cela paraît choquer à la fois les règles du sens commun et les principes d'humanité, protecteurs de l'innocence. La Cour d'assises intervient alors avec justice, parce que le délit de l'accusé n'est pas suffisamment établi par une simple majorité du jury, ce que le Calcul des Probabilités rend indubitable. Mais, quand l'avis de la Cour d'assises infirme celui de la majorité des jurés, loin de le confirmer, quand la différence de deux voix, qui ne donnait à cette majorité qu'une prépondérance insuffisante, est réduite à une seule voix, par l'adjonction des juges dont l'état et les lumières doivent inspirer la confiance ('), n'est-il pas injuste de condamner l'accusé?

(') La différence d'une voix donne à la majorité une prépondérance d'autant moindre que le nombre des juges est plus considérable : le simple bon sens le fait voir sans le secours du calcul. Dans la question présente, la prépondérance de la majorité des jurés diminue donc non seulement par la réduction de deux voix à une, mais encore par l'accroissement du nombre des votants, qui s'élève de douze à dix-sept. Généralement, une différence constante entre la majorité et la minorité au-dessous de laquelle l'accusé ne puisse être condamné lui est d'autant moins favorable que le nombre des juges est plus grand : au contraire, le rapport constant des voix do la majorité à celles de la minorité lui devient plus favorable, à mesure que le nombre des juges augmente. Le rapport |, adopté par la Chambre des Pairs de France, est très favorable aux accusés devant un tribunal aussi nombreux. (On peut voir, sur cet objet, lo Supplément à ma Théorie analytique des Probabilités, et la troisième édition de mon Essai philosophique sur les Probabilités.)

OEuvres rfe L. — Vil. g7

Je propose donc de réformer ainsi l'article cité :

« Si néanmoins l'accusé n'est déclaré coupable qu'à une simple ma- » jorité, les juges délibéreront entre eux sur le même point; et si » l'avis de la minorité des jurés est adopté par la majorité des juges, » cet avis prévaudra. »

Si cette réforme parait juste, le devoir indispensable d'abroger promptement tout ce qui peut compromettre l'innocence ne permet pas d'attendre, pour la convertir en loi, la revision générale du Code criminel, revision qui demande beaucoup de réflexions et de temps. C'est pour remplir ce devoir autant qu'il m'est possible que je publie

cet écrit.

i5 novembre 1816.