PREMIER SUPPLÉMENT

SUR L'APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS A LA PHILOSOPHIE NATURELLE,

Les phénomènes de la nature sont le plus souvent enveloppés de tant de circonstances étrangères, un si grand nombre de causes perturbatrices y mêlent leur influence, qu'il est très difficile de les reconnaître. On ne peut y parvenir qu'en multipliant les observations ou les expériences, afin que les eff'ets étrangers venant à se détruire réciproquement, les résultats moyens mettent en évidence ces phénomènes et leurs éléments divers. Plus les observations sont nombreuses et moins elles s'écartent entre elles, plus leurs résultats approchent de la vérité. On remplit cette dernière condition par le choix des méthodes, par la précision des instruments et par le soin que l'on met à bien observer. Ensuite on détermine par la théorie des probabilités les résultats moyens les plus avantageux ou ceux qui donnent le moins de prise à l'erreur. Mais cela ne suffit pas; il est de plus nécessaire d'apprécier la probabilité que les erreurs de ces résultats sont comprises dans des limites données. Sans cela, on n'a qu'une connaissance imparfaite du degré d'exactitude obtenu. Des formules propres à cet objet sont donc un vrai perfectionnement de la méthode des sciences, et qu'il est bien important d'ajouter à cette méthode. L'analyse qu'elles exigent est la plus délicate et la plus difficile de la théorie des probabilités. C'est une des choses que j'ai eue principalement en vue dans mon Ouvrage, dans lequel je suis parvenu à des formules de ce genre, qui ont l'avantage remarquable d'être indépendantes de la loi de probabilités des erreurs et de ne renfermer que des quantités données par les obser-

OEiivrtsde L.— VU. 63

valions mêmes et par leurs expressions. Je vais en rappeler ici les principes.

Chaque observation a pour expression analytique une fonction des éléments que l'on veut déterminer; et, si ces éléments sont à peu près connus, cette fonction devient une fonction linéaire de leurs corrections. En l'égalant à l'observation même, on forme ce que l'on nomme équation de condition. Si l'on a un grand nombre d'équations semblables, on les combine, de manière à obtenir autant d'équations finales qu'il y a d'éléments dont on détermine ensuite les corrections, en résolvant ces équations. Mais quelle est la manière la plus avantageuse de combiner les équations de condition pour obtenir les équations finales? Quelle est la loi des erreurs dont les éléments que l'on en tire sont encore susceptibles? C'est ce que la théorie des probabilités fait connaître. La formation d'une équation finale, au moyen des équations de condition, revient à multiplier chacune de celles-ci par un facteur indéterminé et à réunir ces produits; mais il faut choisir le système de facteurs qui donne la plus petite erreur à craindre. Or il est visible que, si l'on multiplie les erreurs possibles d'un élément par leurs probabilités respectives, le système le plus avantageux sera celui dans lequel la somme de ces produits, tous pris positivement, est un minimum ; car une erreur positive ou négative doit être considérée comme une perte. En formant donc cette somme de produits, la condition du minimum déterminera le système de facteurs qu'il faut choisir. On trouve ainsi que ce système est celui des coefficients des éléments dans chaque équation de condition, en sorte que l'on forme une première équation finale en multipliant respectivement chaque équation de condition par son coefficient du premier élément et en réunissant toutes ces équations ainsi multipliées. On forme une seconde équation finale en employant de même les coefficients du second élément, et ainsi de suite. De cette manière, les éléments et les lois des phénomènes, renfermés dans le recueil d'un grand nombre d'observations, se développent avec le plus d'évidence. J'ai donné, dans le n° 21 du Livre II de ma Théorie analytique des Probabilités, l'expression de l'erreur moyenne à

craindre sur chaque élément. Cette expression donne la probabilité des erreurs dont l'élément est encore susceptible, et qui est proportionnelle au nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, élevé à une puissance égale au carré de l'erreur pris en moins et divisé par le carré du double de cette expression et par le rapport de la circonférence au diamètre. Le coetïïcient du carré négatif de l'erreur dans cet exposant peut donc être considéré comme le module de la probabilité des erreurs, puisque l'erreur restant la même, la probabilité décroit avec rapidité quand il augmente, en sorte que le résultat obtenu pèse, si je puis ainsi dire, vers la vérité, d'autant plus que ce module est plus grand. Je nommerai, par cette raison, ce module poids du résultat. Par une analogie remarquable de ces poids avec ceux des corps comparés à leur centre commun de gravité, il arrive que, si un même élément est donné par divers systèmes, composés chacun d'un grand nombre d'observations, le résultat moyen le plus avantageux de leur ensemble est la somme des produits de chaque résultat partiel par son poids, cette somme étant divisée par la somme de tous les poids. De plus le poids total des divers systèmes est la somme de leurs poids partiels, en sorte que la probabilité du résultat moyen de leur ensemble est proportionnelle au nombre qui a l'unité pour logarithme hyperbolique, élevé à une puissance égale au carré de l'erreur, pris en moins et multiplié par la somme de tous les poids. Chaque poids dépend, à la vérité, de la loi de probabilité des erreurs dans chaque système, et presque toujours cette loi est inconnue; mais je suis heureusement parvenu à éliminer le facteur qui la renferme, au moyen de la somme des carrés des écarts des observations du système, de leur résultat moyen. Il serait donc à désirer, pour compléter nos connaissances sur les résultats obtenus par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, qu'on écrivît à côté de chaque résultat le poids qui lui correspond. Pour faciliter le calcul de ce poids, je développe son expression analytique, lorsque l'on n'a pas plus de trois éléments à déterminer. Mais, cette expression devenant de plus en plus compliquée à mesure que le nombre des éléments augmente, je donne un moyen fort simple pour

déterminer le poids d'un résultat, quel que soit le nombre des éléments. Quand on a ainsi obtenu l'exponentielle qui représente la loi de probabilité des erreurs, on aura la probabilité que l'erreur du résultat est comprise dans des limites données, en prenant, dans ces limites, l'intégrale du produit de cette exponentielle par la différentielle de l'erreur et en la multipliant par la racine carrée du poids du résultat divisé par la circonférence dont le diamètre est l'unité. De là il suit que, pour une même probabilité, les erreurs des résultats sont réciproques aux racines carrées de leurs poids, ce qui peut servir à comparer leur précision respective.

Pour appliquer cette méthode avec succès, il faut varier les circonstances des observations ou des expériences, de manière à éviter -les causes constantes d'erreur. Il faut que les observations soient nombreuses et qu'elles le soient d'autant plus qu'il y a plus d'éléments à déterminer; car le poids du résultat moyen croît comme le nombre des observations divisé par le nombre des éléments. Il est encore nécessaire que les éléments suivent, dans ces observations, une marche différente; car, si la marche de deux éléments était rigoureusement la même, ce qui rendrait leurs coefficients proportionnels dans les équations de condition, ces éléments ne formeraient qu'une seule inconnue, et il serait impossible de les distinguer par ces observations. Enfin il faut que les observations soient précises. Cette condition, la première de toutes, augmente beaucoup le poids du résultat, dont l'expression a pour diviseur la somme des carrés de leurs écarts de ce résultat. Avec ces précautions, on pourra faire usage de la méthode précédente et mesurer le degré de confiance que méritent les résultats déduits d'un grand nombre d'observations.

1. Un grand avantage de cette méthode, qui permet d'en évaluer numériquement les expressions, est, comme nous l'avons dit, d'être indépendante de la loi de probabilité des erreurs des observations. Le facteur -y- a" s, qui dépend de cette loi, a été éliminé des formules des n°* 19 et 21 du Livre II, en observant que ce facteur qui est la somme des

carrés de toutes les erreurs possibles des observations, multipliées par leurs probabilités respectives, et qui exprime ainsi la vraie moyenne de ces carrés, est très probablement égal à la somme des carrés des restes des équations de condition, lorsqu'on y a substitué les éléments déterminés par la méthode la plus avantageuse. L'importance de cette méthode dans la philosophie naturelle exige que l'incertitude qu'elle peut laisser soit dissipée, et la seule qui reste encore est relative à l'égalité dont je viens de parler. Je vais d'abord éclaircir ce point délicat de la théorie des probabilités et faire voir que l'égalité précédente peut être employée sans erreur sensible.

La somme des carrés des erreurs des observations, dont le nombre

est s, étant supposée égale à ~rr a^s + a^rsjs, la probabilité que la valeur de r est comprise dans des limites données est, par le n** 19 cité,

' f&drc * ,

l'intégrale étant prise dans ces limites. Représentons l'équation générale de condition des éléments z, z\ ... par celle-ci

s''^ étant l'erreur de l'observation. Les éléments :;, z\ ... étant déterminés par la méthode la plus avantageuse, désignons par u, u', . . . leurs erreurs; nous aurons, en nommant s'^'^ le reste de la fonction

pii)z -+-q(Oz'-j-. . . — a(''

lorsqu'on y a substitué pour z, z\ ... leurs valeurs ainsi déterminées,

ce qui donne

Se(''2=S£'(''2+'2Se'(') (/>('■' M + </('^ m' -+-...) + S(/)(')m 4- 7('■)^f' + . ..)^

le signe intégral S s'étendant à toutes les valeurs de /, depuis i = o jusqu'à i=^ s — i . Mais, par les conditions de la méthode la plus avan-

tageuse, on a

on a donc

S£(')2= Se'('^2 ^ s {/)('■) M -u q{i)it' + ...)';

j // en comparant cette valeur de S t^'^^ à sa valeur précédente -f-a^s-^ a'^rsfs,

on aura

Faisons

W = -rr J II' — —. , U" :

nous aurons

L'exponentielle c * devient ainsi

ainsi la probabilité de t est proportionnelle à cette exponentielle.

L'analyse du n° 21 du Livre II conduit à ce théorème général, savoir que la probabilité de l'existence simultanée des quantités u, u', u", ... est proportionnelle à l'exponentielle

la probabilité de l'existence simultanée de /, v, f', v", ... est donc proportionnelle à

En substituant pour ^^^-^^ sa valeur 2Sz'^'^ — 2t\ls, cette exponentielle

se réduit, en négligeant les termes de l'ordre -» à la fonction suivante :

"-r — vj — J"

-sï^'m. «(/'"■"' + ?""''+■ -O^]

sSe'fO

Maintenant, pour avoir la probabilité que la valeur de v est comprise dans des limites données, il faut : i° multiplier cette fonction par dtdvdv'...', 2° prendre l'intégrale du produit pour toutes les valeurs possibles de /, v\ v\ ...; et, par rapport à v, intégrer seulement dans les limites données; 3« diviser le tout par cette même intégrale prise par rapport à toutes les valeurs possibles de t, v,v' , — En regardant Se'^'^^ comme une donnée de l'observation, t ne varie qu'à raison de la

valeur inconnue ~^-^5 et cette valeur peut varier depuis zéro jusqu'à

l'infini; / peut donc varier depuis --r- jusqu'à l'infini négatif; et,

sis

comme Ss'^'^^est de l'ordre^, ^ peut varier depuis l'infini négatif jusqu'à une valeur positive de l'ordre sis. L'exponentielle précédente devient, à cette limite de l'intégrale prise par rapport à t, de la forme c"^'' et pourra être supposée nulle, à cause de la grandeur de s. Ainsi l'on peut prendre l'intégrale relative à t, depuis t = — co jusqu'à t= ^ . Pareillement les intégrales relatives à ç^', v\ . . . peuvent être prises dans les mêmes limites. Si l'on fait

l'intégrale relative à ^'pourra être prise par rapport à i' depuis t'——cx> jusqu'à t'= 00 .

De là il est facile de conclure que la probabilité que c est compris dans des limites données est proportionnelle à l'intégrale

les intégrales étant prises depuis v', v", . . . égaux à — qo jusqu'à leurs

valeurs infinies positives et par rapport à v dans les limites données, et étant divisée par la même intégrale étendue aux valeurs infinies positives et négatives de v, v', v",

O If"

La considération de la différence qui peut exister entre -rr^^^ ^^ Se'''^^ n'introduit donc dans l'expression de la probabilité dont il s'agit qu'un terme de l'ordre -5 ordre que je me suis permis de négliger dans mon Ouvrage. Par là, l'intégrale précédente devient

Si l'on fait

l'exponentielle

fdv dv' ... c 2 s £■;<)«

' ^ SçC')^ '

'' -^ ^qW-1 ' • >

pourra être mise sous cette forme

ç 2Se'rt» 2S£V)>V"' S^(')> )

En multipliant cette quantité par d^' , et en l'intégrant depuis v'= — x> jusqu'à /= co , on aura une quantité proportionnelle à

Q îSe'W»

et dans laquelle la variable ç^' a disparu. En suivant le même procédé, on fera disparaître les variables v", ç^'", On arrivera ainsi à une

exponentielle de la forme c ^seo^ ^ étant le nombre des éléments. Si

l'on restitue, au lieu de v, sa valeur u\fs, cette exponentielle devient

en faisant

a étant l'erreur de la valeur de z, P est ce que je nomme poids de cette valeur. La probabilité que cette erreur est comprise dans des limites données est donc

v/tt

l'intégrale étant prise dans ces limites, et t: étant la circonférence dont le diamètre est l'unité. Mais il est plus simple d'appliquer le procédé dont nous venons de faire usage aux équations finales qui détei-minent les éléments, pour les réduire à une seule, ce qui donne une méthode facile de résoudre ces équations.

2. Reprenons l'équation générale de condition, et, pour plus de simplicité, bornons-la aux six éléments z, z', z\ z'", z'\ z"; elle devient alors

En la multipliant par "X^'^ et réunissant tous les produits semblables,

on aura

SX(''e(''' = z SX(')/?('' + z' S>(')^f') + . . . - S^C'a^'),

le signe intégral S s'étendant à toutes les valeurs de i, depuis i=o jusqu'à i=s — î, s étant le nombre des observations employées. Par les conditions de la méthode la plus avantageuse, on a SX^'^s^'^— o ; l'équation précédente donnera donc

S)i('>y('> ,„SX(')/(') „SX(')r(') ~ ^ '^^^~ ~~ ^ SX^')=^ "*" SX^'Ja

CEwres de L. — VU. 64

Si l'on substitue cette valeur dans l'équation (i) et si l'on fait

"^ SX(''v('>

'' ^ SX(')2 '

SX^'UC) /'" = /('•) X('')-- — --,

gii) ^(0

-xc-'^^-^*!^.

SX(')a(')

on aura

par ce jnoyen, l'élément s' a disparu des équations de condition que représente l'équation (2). En multipliant cette équation par y'/' et réunissant tous les produits semblables, en observant ensuite que

l'on a

en vertu des équations

o = SX(''> £('■', o = Sy(''£(''>

que donnent les conditions de la méthode la plus avantageuse, on aura

o = z Sy'/V/' + z' Sy'/'<7V'' + z" Sy'/VV' + z'" Sy'/'/»/' + z^' Sy*/" - Sy','>a',"; d'où l'on tire

Syj^^ui ^ „,, S//V/2 , S y '/'(y'/' Sy'/V/' Sy'/^^ Sy'p' ^ Sy'/'^ ^ ~Syp^ ^ "S^/^^" "^ S>f-

Si l'on substitue cette valeur dans l'équation (2) et si l'on fait

. Sv"''f''' -' -'* ~^' "Sy'/'^

{/) — ^(') •jW^a'^

sy7

on aura

( 3 ) £('■) = pf z + 9'^'' z' + rf z" + ;;/■' z'" - a'/'.

En continuant ainsi, on parviendra à une équation de la forme

(4) ^^) = pfz-c^.

Il résulte du n*' 20 du Livre II que, si la valeur de z est détecminée par cette équation et que 11 soit l'erreur de cette valeur, la probabilité de cette erreur est

Ss'^"- étant la somme des carrés des restes des équations de condition, lorsqu'on y a substitué les éléments déterminés par la méthode la plus

avanlageuse. Le poids P de cette erreur est donc égal à -o-^Tyr, •

H s'agit maintenant de déterminer S/?!/'". Pour cela, on multipliera respectivement chacune des équations de condition représentées par l'équation (i), d'abord par le coefficient du premier élément, et l'on prendra la somme de ces produits; ensuite par le coefficient du second élément, et l'on prendra la somme de ces produits, et ainsi du reste. On aura, en observant que par les conditions de la méthode la plus

avantageuse Sp^'h^'^ = o, Sg^'h^'^ = o, . . ., les six équations suivantes :

p a. = p'^'^H -\- pq z'-\-pr z"-^pi z"'-i-'py z'^'-h'pl z",

qoc — pq z -\- q'-'^'>z'-+- qr z" -\- qt z'" -\- qy z^" -i- ql z",

rx = rp z -\- rq z' -\- r<^'^^ z" + rt z'" -\- ry 2'' -\- il z^, (A) (_____

tx=tp z + tq z'+tr z" -^ t^"^) z'" ^ ty z''' -h tl z%

yot. :=^yp z + yq z' -\'yr z" -\-yt z'" -^y^'^^z^" -^-yl s',

\ ïx =ïp z -\-Tq z' -h'ïr z" +Tt z'" + Xy z'" -t- "tS^^ z\

OÙ l'on doit observer que nous supposons

;7^2) — Sp(02, ^z=:^pii)q^i), q{i)~^q{i)-i, Ifr r=^ ?> q^'^ r^i\

Si l'on multiplie pareillement les équations de condition représentées par l'équation (2) respectivement par les coefficients de z et que l'on ajoute ces produits, ensuite par les coefficients de z' en ajoutant encore ces produits, et ainsi de suite, on aura le système suivant d'équations, en observant que S/>'/'£<'^ = o, S^'/*£^'^ = o, ..., par les conditions de la métbode la plus avantageuse.

p^a^ = pY' z -h ptqi z' + pi ri z" + pt tt z'" -h ptyt z''',

q^Xi =piqiZ + q\-^ z' -h qt rt z" -h qittz'" -h qsyiZ'^

t7x^ = ^TT, z + q7u z' + Vâ'i z" + f ',2) z'" + r,77 z'\ OÙ l'on doit observer que

.Tir <;n(''/ïf^ n'2' — Sn<''2

p\q\ — spf qi , Pi — ^Pi , ••••

En substituant, au lieu de />'/', q'i\ .. ., leurs valeurs précédentes, on a piqi=^p^^^q^'^ SX^O^-^

oii

— — — Iplq p,tj,=:pq--^^-

on a pareillement

P"'*=/^^ --fer'

— \p "kx

Ainsi les coefficients du système des équations (B) se déduisent facilement des coefficients du système des équations (A).

Les équations de condition représentées par l'équation (3) donneront semblablement le système suivant d'équations

p2X2 = p^i^ z -h p2qiz' -h p^r-jz" -h p2t2z"',

et l'on a

^2 «2 =pîg2Z ■+■ g'-2^ z' -\- q2r2z" + ^2^22'", Ta «2 = /?2 r2 2 4- q2 /'2 z' + r'2^' z" -h Vi /o z"', (2X2 = p2t2 z -i- q2t2 z' + ro/o z" -\- /'a^' z",

^(2) ' fi

yiPiqiïi

fi

p^qi

= Piqi

yiPiyiOCi