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En désignant pareillement par a<^' et ê'*' les erreurs a"^ et ê''^ respectivement corrigées de (?('' -t- ^)T'\ (iV -+- ;-)T"), on aura
et ainsi de suite. La fonction (o) est, par le n" 1, égale à
ensuite, on a
a = a + iT = a + {i +{)T;
ce qui donne
a = a -+- iT;
on a pareillement
La fonction (o) devient ainsi
S {pi -f- qi,)T désignant la somme
La correction de la fonction (o) relative aux valeurs de i, /,, i^*\ ... est
donc
et alors cette fonction ainsi corrigée devient
(e) /?a+ ^ê +;?(<) ad) + ^(Ogd) ^ p{2) ^vi) ^
Pour avoir la probabilité des valeurs de cette dernière fonction, nous observerons que la probabilité de l'existence simultanée des valeurs de a, g et T est
du </ê dT 9 («)y(g)9(T — « — g) ///c?a6/êrft9(a)(p(ê)9(T-a -g)'
les intégrales du dénominateur étant prises dans leurs limites infinies positives et négatives. Désignons par k l'intégrale /^a 9(a), prise dans ces limites; il est facile de voir que ce dénominateur sera égal à yi:^ La fraction précédente devient ainsi
dadSdT , , ,^^ ,^
— y3— 9(aj?(ê)9(T-a-g); la probabilité de l'existence simultanée des valeurs de a, g et T sera donc
dx de dT
T étant supposé pouvoir varier depuis -ce jusqu'à +00, on aura la probabilité des valeurs simultanées de a et de ê en intégrant la fonction précédente par rapport à T, dans Tes limiTes infinies. Nommons dûcdB -j^'H^^Q cette intégrale. On voit, par le n« 20 du Livre II, qu'en
désignant par s la valeur de la fonction (s), la probabilité de s sera proportionnelle à
( ffdccdB^(^oc,e')cos(^pa + që)(o j
:H) /J«c-W^ X//^(<'fi?g(<'4/(a(n,g(.))cos(/?«)aH)-+.^(Oê(Uj„ >,
l'intégrale relative à eu étant prise depuis co = — u jusqu'à co = t: et
les intégrales relatives à a et S étant prises dans leurs limites infinies. Développons dans une série, ordonnée par rapport aux puissances de 0), la fonction comprise dans la parenthèse. Le logarithme de ffdccM'\^Çix, ê) cos f peu. -+- q€\oi est égal à
log//rf. IS + (., S) - -'— j^.^^g-^I^-^-- - . . . . Or on a
Les intégrales étant prises dans leurs limites infinies, il est aisé de voir, par la théorie connue des intégrales multiples, que le second membre de cette équation est égal à
T' étant égal à T - a — € ; il est donc égal à X;^ On a ensuite
en substituant pour a et ê leurs valeurs en a, S, et T' dans la quantité (/?a + q^y. Or il suit de ce qui précède que l'on a
En substituant ces valeurs dans la quantité (^poc + q^V, on pourra, dans son développement, négliger les termes dépendants des produits aÇ, aT' et ^T', car la triple intégrale
(«) fffdxdSdTc?(a)cf{ë)cf{T){px + q^y
étant prise dans ses limites infinies, et la fonction ^(a) étant supposée
la même pour les valeurs -h a et — a, il est clair que les éléments de cette intégrale dépendants de + aê seront détruits par les éléments négatifs dépendants de — a6^ Si l'on observe ensuite qu'en désignant j'oL^ doL^{oL) par k", on a
la fonction (w) deviendra
k'^ k"ll{p^ - pg ^ q^) -^3{pi -^ qi,)^]; le logarithme de
//f/a6?ê4'(a, ê) COS(pa -+- ^ê)co
devient ainsi
^oglf' - ^ w' [!(/>' -pq-^q^)-^ 3{pi + 9/,)2] . . . .
En repassant des logarithmes aux nombres et négligeant, conformément à l'analyse du n" 20 du Livre II, les puissances de co supérieures au carré, l'intégrale (H) prendra cette forme
'^{p'^ — P9 ^ f) représentant la somme des quantités
p^—pq + ^2 ^^(02^(n^() ) + ....
S(/?? -}- qi^Y représentant la somme des quantités
{pi-^-qiY + (/?(<'«■(') + 9(')t(<))2 + .. .^
et n étant le nombre des triangles. Donnons à l'intégrale précédente cette forme
Q étant égal à
^ [l^ip' -pq + q')-^ 3^{pi + qi,)^].
L'intégrale doit être prise depuis co = — - jusqu'à w = ti, et l'on a vu, dans le numéro cité du Livre II, qu'elle peut être étendue depuis
0) = — 00 jusqu'à (0 = Qo ; alors l'intégrale précédente, ou la probabi-
il
lité de s, devient proportionnelle à c **^ ou à
^ ik"[S{p^-pq^q^) + ^S(pi+qi^)']^
k 11 faut maintenant déterminer la valeur de p- Pour cela nous ferons,
comme ci-dessus, usage des valeurs observées de T, T^'^ T^^^
Lorsque ces valeurs sont en grand nombre, la somme de leurs carrés divisée par leur nombre sera, à fort peu près, par ce que nous avons établi dans le Livre II, la valeur moyenne de T^; en faisant donc
— sera cette valeur moyenne. Or on a cette valeur en multipliant
chaque valeur possible de T^ par sa probabilité et en prenant la somme de tous ces produits; l'expression de la valeur moyenne de T^ sera
donc
///Ja</êf/T.T2(p(a)y(ê)(p(T-a-ê)
les intégrales étant prises dans leurs limites infinies. Soit, comme cidessus,
la fraction précédente deviendra
///(T' + «-4- e)^doidedT(f{oc)<?{&)(p{T) fffdadëdT^{cc)c?[e)<?{T)
toutes ces intégrales étant prises encore dans leurs limites infinies. Il est facile de voir, par l'analyse précédente, que le numérateur de cette fraction est égal à 3k^k", et que son dénominateur est égal à X-'; la
fraction devient ainsi -j—; en l'égalant à — > on aura
Œuvres (le L. — VII, 70
la probabilité de s est donc proportionnelle à
Il est clair que les valeurs de i et de /, qui rendent cette probabilité le plus rapidement décroissante sont celles qui donnent pi -f- </«, = o ; et alors la correction précédente de l'arc mesuré devient nulle. Le cas de i et /, nuls donne donc la loi de probabilité des erreurs géodésiques, le plus rapidement décroissante, loi qui doit être évidemment adoptée.
De là, il est facile de conclure que la probabilité que la valeur de s sera comprise dans les limites ± s est égale à
l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à
25 V ^{p^—pg-^q^)
ce qui est conforme à ce que nous avons déduit dans le n" i de la loi particulière de probabilité des erreurs a proportionnelle à c~^'^\
Exprimons, comme dans le n" 2, l'erreur d'une nouvelle base conclue de la première par la fonction
/a -h ml+Z^'^â^'^H- m(t)ê(<){
En faisant, comme précédemment,
«=« — iT, ê = S — /,T, a(') = â(')— i(')Tf<),
la correction de cette fonction, relative aux valeurs de «, «, , i^*K ••• sera — S(/f '+ m/ jT, et l'erreur de la nouvelle base ainsi corrigée sera
Soit s' la valeur de cette fonction; la probabilité de l'existence siniul-
tanée des valeurs s et s' des fonctions (e) et (X) sera, par le n"* 21 du Livre II, proportionnelle à
les intégrales étant prises depuis co et co' égaux à — oc jusqu'à (o et w' égaux à H- oc. On voit ensuite, par l'analyse du numéro cité, que l'on a
iS////ia t/ê JT'9(a) 9(ê) (p(T') [(;>« -f- ^ê)w -f- (/a+ mê)w']2
les intégrales relatives à a, ^ et T' étant prises dans leurs limites infinies; ce qui donne, en substituant pour a et ê leurs valeurs précédentes,
On 2
d'où l'on conclut, par l'analyse du numéro cité, que la probabilité de l'existence simultanée des valeurs de s et de s' est proportionnelle à
ou
La mesure de la seconde base détermine la valeur de s'; et, en la nommant \ comme ci-dessus, la probabilité de s sera proportionnelle à
La valeur de s la plus probable est celle qui rend nul l'exposant de c;
ce qui donne
Q on faisant donc
Il sera l'erreur de l'arc mesuré et diminué de ^^ et la probabilité de cette erreur sera proportionnelle à
Qî"'
Les valeurs de i, i^, i^*\ ... doivent être déterminées par la condition que le coefficient de w% dans cette exponentielle, soit un maximum ; voyons donc quelles sont les valeurs de ces quantités qui rendent la fraction
QQ2 - Qî
un maximum. Si l'on nomme Q' ce que devient l'expression de Q lorsqu'on y diminue l'intégrale finie S (pi + qi^Y de l'élément {pi-hqi^f, on aura
Si l'on nomme pareillement Q', ce que devient l'expression de Q, lorsque l'on y diminue l'intégrale finie S{pi -h qi^){li-h mi,) de l'élément {pi -h qi,) [li + mi,), on aura
q; = Q. — - jr{pi-+- qi^){li + mi^).
Enfin, si l'on nomme Ql ce que devient Q2, lorsque l'on y diminue l'intégrale finie S (li-^mi,f de l'élément {li-\- mi,fy on aura
QÎ. = Q.-\j[li-^mi,)K La fraction
surpasse la fraction
QQ2-Qr
car, en substituant dans la première, au lieu de Q', Q', et Q'^, leurs valeurs, et réduisant au même dénominateur son excès sur la seconde, le numérateur de cet excès devient
Nommons encore Q" ce que devient Q' lorsqu'on en retranche
- -rip^^^i^*^ -^q^*^i\y; et, par conséquent, ce que devient l'expression
de Q lorsque l'on y diminue l'intégrale S{pi-h qitY des deux éléments {pi -h qii)' + {p^*^i^*^ -h q^^^i^^^Y' Nommons pareillement Q", ce que devient Q',, lorsqu'on en retranche
enfin, nommons Ql ce que devient Q'^ lorsque l'on en retranche
on verra, par le même procédé, que la fraction
surpasse la fraction
et, par conséquent, la
fracti
on
