QQ2 - Q

En continuant ainsi, on voit que cette dernière fraction devient à son maximum lorsque les intégrales finies S(/?^^-(7^,)^ S(/?«4-^«,)(/i+//if,)* et S {li 4- mi, Y sont nulles dans les expressions de Q, Q, et Q2, ce qui

o58 THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

revient à supposer nulles les valeurs de i, «,, ^<'^ ...; cette supposition donne donc la loi de probabilité des valeurs de Q le plus rapidement décroissante, et alors on a

Q2 = — Si72-m/-l-m2).

Le poids de l'erreur u devient ainsi

Il est facile de voir que ce résultat coïncide avec le résultat analogue du n*^ 3.

Sur la probabilité des résultats déduits, par des procédés quelconques, d'un grand nombre d'observations.

La vraie marche des sciences naturelles consiste à remonter, par la voie de l'induction, des phénomènes aux lois et des lois aux forces. On redescend ensuite de ces forces à l'explication complète des phénomènes jusque dans leurs plus petits détails. L'inspection attentive d'un grand ensemble d'observations et leurs comparaisons multipliées font pressentir les lois qu'il recèle. L'expression analytique de ces lois dépend de coefficients constants que l'on nomme éléments. On détermine, par la théorie des probabilités, les valeurs les plus probables de ces éléments, et si, en les substituant dans les expressions analytiques, ces expressions satisfont à toutes les observations, dans les limites des erreurs possibles, on sera sûr que ces lois sont celles de la nature, ou du moins qu'elles en sont très peu différentes. On voit par

là combien est utile l'application du Calcul des Probabilités à la Philosophie naturelle, et combien il est essentiel d'avoir des méthodes pour tirer des observations les résultats les plus avantageux. Ces résultats sont évidemment ceux avec lesquels une même erreur est moins probable qu'avec tout autre résultat. Ainsi la condition qu'il faut remplir dans le choix d'un résultat est que la loi de probabilité de ses erreurs soit le plus rapidement décroissante. Avant l'application du Calcul des Probabilités à cet objet, chaque calculateur assujettissait les résultats des observations aux conditions qui lui paraissaient être les plus naturelles. Maintenant que l'on a des formules certaines pour obtenir le résultat le plus avantageux, il ne peut plus y avoir d'incertitude à cet égard, du moins lorsque l'on fait usage des facteurs. On peut, non seulement déterminer ce résultat, mais encore assigner la probabilité des erreurs des résultats obtenus par d'autres procédés et comparer ces procédés à la méthode la plus avantageuse. L'excessive longueur des calculs que cette méthode exige, lorsque l'on emploie un très grand nombre d'observations, ne permet pas alors d'en faire usage. Mais, en groupant convenablement les équations de condition et en appliquant cette méthode aux équations qui résultent de chacun de ces groupes, on peut à la fois simplifier considérablement les calculs et conserver une partie des avantages qui lui sont attachés, comme on le verra dans la suite. Quel que soit le procédé dont on fait usage, il est très utile d'avoir un moyen pour déterminer la probabilité des résultats auxquels on parvient, surtout lorsqu'il s'agit d'éléments importants. On aura facilement cette probabilité par la méthode suivante.

1. Considérons d'abord un cas fort simple, celui des angles mesurés au moyen du cercle répétiteur. Supposons qu'à la lin de chaque opération partielle on lise la division correspondante du cercle; on aura, en partant du point de départ, une suite de termes dont le premier sera l'angle même, le deuxième sera le double de cet angle, le troisième en sera le triple, et ainsi de suite. Désignons par A,, Aa, ..., A„ ces diffé-

rents termes, et par a^,a^, ....a^ les n angles partiels successivement mesurés. On aura

et, si l'on nomme 7 le véritable angle simple, on aura cette suite d'équations

y — ay -\- x^—o, ^ — «2 + .3:^2 = o.

y — an-\- Xn-= o,

X,, x^, x.^, ... étant les erreurs des angles a,, a^, a^, On aura, par

le n° 20 du Livre II, le résultat le plus avantageux en multipliant par l'unité chacune des équations précédentes et en les ajoutant, ce qui donne

ai-{- a2 + . . .-\- a,i Xi^ X2-\- . . . + Xn

En supposant x^,x^, ... nuls, on aura le résultat de la méthode la

plus avantageuse, et l'erreur de ce résultat sera -^t +-^2 -i-. ■ .4-.r^

En désignant par u cette erreur, on voit, par le numéro cité, que la

knii°

probabilité de u est proportionnelle à c"^ , k étant égal 'àjdxc^[x), et ^" étant égal k Jx^dxc^{x), (s^[x) étant la loi de probabilité des erreurs X des observations partielles, cette loi étant supposée la même pour les erreurs positives et négatives et pouvant s'étendre à l'infini; c est toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. Svanberg, dans son excellent Ouvrage sur le degré de Laponie, expose, pour déterminer y, un nouveau procédé fondé sur les considérations suivantes. Chaque terme de la série A,, A2, ... peut donner sa valeur, qui peut être également déterminée par la différence A/ — A, de deux termes quelconques de cette série, s' étant plus grand que s.

Cette différence, divisée par s' — s, donne une valeur de y d'autant plus exacte que ce diviseur est plus grand. En la multipliant donc par ce diviseur, on la rendra prépondérante en raison de son exactitude. Si l'on fait ensuite une somme de ces produits et qu'on la divise par le nombre d'angles simples qu'elle contient, on aura une valeur de y qui, conclue de toutes les combinaisons des quantités A,, Ao, ... en donnant à chacune de ces combinaisons l'influence qu'elle doit avoir, semble devoir approcher de la vérité le plus près qu'il est possible. Cela serait juste, en effet, si toutes ces valeurs de y étaient indépendantes. Mais leur dépendance mutuelle fait que les mêmes angles simples sont employés plusieurs fois et d'une manière différente pour chacun d'eux, ce qui doit changer les probabilités respectives des valeurs de y et, par conséquent, la probabilité de la valeur moyenne. C'est un nouvel exemple des illusions auxquelles on est exposé dans ces recherches délicates.

Le procédé dont il s'agit revient à former la somme des différences A/ — A^, s' étant plus grand que s et devant avec cette condition être étendu depuis ^' = i jusqu'à s'=n; s doit être étendu depuis ^ = o jusqu'à s = n — i, et l'on doit faire Aq = o. En divisant ensuite cette somme par le nombre d'angles simples qu'elle contient, on a la valeur de y. Il est aisé de voir que cette valeur est

/ï S A« — 2 SS Art-,

s An exprimant la somme des quantités A,, A,, . . ., A„; SS A,,, est la

somme des quantités

A, + Ao 4- As,

"A , -F A2 + . . . + A« - 1 ; l'angle «, est contenu n — i -\- i fois dans SA,,, il est contenu

OEuvreide /.. — VU. 71

— ^ fois dans la fonction SSA„,; il est donc contenu

Un — z" H- I '

fois dans l'expression précédente de y. De là il suit

que ce procédé revient à multiplier les équations {a) respectivement par les facteurs

rt ( /i -H I ) ( n -}- 2 ) n ( « + I ) ( n -+- 2 ) n ( n H- i ) ( w -t- 2 )

et alors on trouve, par le n° 20 du Livre II, que la probabilité de l'erreur n dans l'expression précédente de y est proportionnelle à

,7 2*" sin

M, étant ici égal à /^^ — rT~^ — r'^ l'intégrale SMJ devant comprendre

toutes les valeurs de MJ depuis i= r jusqu'à l — n inclusivement. On a ainsi

5 nfrt-+-i)(«H-2'

n étant supposé fort grand, cette valeur de SM,^ se réduit à fort peu près à ^^ la probabilité de l'erreur u est donc proportionnelle à

On vient de voir que, dans la méthode la plus avantageuse, la probabilité d'une pareille erreur du résultat est proportionnelle à

Ainsi, pour que les mêmes erreurs deviennent également probables, les observations doivent être, dans le procédé de Svanberg, plus nombreuses que dans le procédé ordinaire, suivant le rapport de six à cinq.

On pourrait croire que, le résultat obtenu par le procédé de Svanberg étant une nouvelle donnée des observations, sa combinaison avec le résultat de la méthode ordinaire doit donner un résultat plus exact, et dont la loi de probabilité des erreurs soit plus rapidement décroissante. Mais l'analyse prouve que cela n'est pas. Considérons, en effet, le système d'équations

PfX — "< -^ ^i =°'

Pif — ao 4- 372 = o,

p,iX — an -+- Xn = o,

.r,, x'2, ... étant, comme ci-dessus, les erreurs des observations. La méthode la plus avantageuse prescrit de multiplier ces équations, respectivement, par /?, , /?2, • . • et de les ajouter, ce qui donne

S /?;•«/ ^piXi

^'-^èyt s7r

le signe S comprenant, comme ci-dessus, toutes les valeurs qu'il précède, depuis i= i jusqu'à i = n inclusivement. Le premier terme de cette expression sera la valeur de y donnée par la méthode la plus

avantageuse, et son erreur sera -^^^ en la désignant par //, sa pro-

^ ^ Pi

habilité sera, par le n° 20 du Livre 11, proportionnelle à

Si l'on multiplie les équations (b) respectivement par m,, m.^, m.,, . . .,

leur somme donnera

S m/cf/ S niiXi

^ ^niipi S niipi

Le premier terme de cette expression sera la valeur de y relative au système de facteurs m,, m.., ..., et ^Hlfl sera l'erreur de cette valeur, erreur que nous désignerons par u'. Si l'on fait

/ = S piXiy t — S mi Xi,

la probabilité de l'existence simultanée de / et de /' sera, par le n° 21 du Livre II, proportionnelle à

E étant égal à S/wf S/?; - {Sm^p^y. Or on a

l =^ H ?) p'f, l z=z a' S inipi ;

l'existence simultanée de u et de u est donc proportionnelle à

Soit e la différence des valeurs précédentes de j; on a

S piai S w/a/

~~ S/;f ^niipi'

l'égalité de ces valeurs, corrigées respectivement de leurs erreurs u

et II', donne

l'exponentielle précédente devient ainsi

e est une quantité donnée par les observations; la valeur de u qui rend cette exponentielle un maximum est évidemment w = o; ainsi la considération du résultat donné par le système de facteurs m^,m.^, ... n'ajoute aucune correction au résultat de la méthode la plus avantageuse et ne change point la loi de probabilité de son erreur u, qui reste toujours proportionnelle à

C ïk" '^ ^

Si le très grand nombre des équations de condition ne permet pas de leur appliquer cette méthode, il y aura toujours de l'avantage à l'appliquer à des équations résultantes de groupes de ces équations. Supposons que l'on ait r groupes, formés chacun de s équations, en sorte

que n = rs\ on aura les /' équations suivantes

et l'on a

VrJ — Ar -H X/- = O ;

P, — ;?, -\- Pi +.. . + psy

A, = fl) + «2 -^ . . .-h Os,

X|=^l +^2 +...-^-Xs, P2 = ps+\ H- /?^+2 -{-... -f- Pis,

En appliquant aux équations (V) le procédé de la méthode la plus

avantageuse, on a

— SPM^ SP.Xf^ ^~ "SP,^ 'SP; '

le signe S embrassant toutes les quantités qu'il précède, depuis t = i

o TJ V ftp A

jusqu'à t = r inclusivement, g-pir- est l'erreur de la valeur gp/

prise pour j; en désignant par u cette erreur, sa probabilité sera, par le n° 20 du Livre II, proportionnelle à

m,, mo, . . . étant les coefficients de x^,x.^, . .. dans l'expression de u ; et l'intégrale S m- s'étendant depuis î = o jusqu'à i=n inclusivement. Or il est aisé de voir que l'on a

mi

"~spr

Pi

Po

m.+ . -SP;'

m 2^4-1 — gpa'

de là il est facile de conclure que l'on a

' ~ S P,^ ~ r S P,^ ' la probabilité de u est donc proportionnelle à

Si l'on réunissait toutes les équations en un seul groupe, la probabilité

de u serait proportionnelle à