l'+Tj

rx{sc-hi)...ix-^x'—2) ^ a + a'—n— n'-h i x[x -\-i)...[x -^ x' — Z) "1

Maintenant, en multipliant cette valeur de 5,,, par

[a'—n'-\-x + \). . Aa + a'—n —n'+x^'x^] '

on aura, après toutes les réductions, pour l'expression de ja,a; .

[X a' — n'-{- x' .r(.rH-i) (a' — n'-\-x'){a' — n'-h x' — i) ~|

x{x -k-\). . .{x -\- x' — 1) {a' — n'-\- x'). . .{ci — 11'-^ -i.) 1

i.2...(.r' — i) («-+-«' — n — n'-r- x'). . .{a-\- a — n — n'-\--i) Jj

Concevons actuellement a — n Qi a' — n' dans le rapport de/» à q, en sorte que l'on ait a — n ^=pk et a — n' = qk, et imaginons que k devienne un très grand nombre ou l'infini ; il est clair que la probabilité de la sortie d'une boule blancbe ou d'une noire dans les tirages successifs deviendra constante et sera ~ — pour une boule blanche et — ^~

pour une noire, et la probabilité Yj-^^- se réduira à cette expression

telle est la formule à laquelle conduit le problème des partis, et effectivement nous rentrons dans les conditions de ce problème par la supposition de k infini.

Si l'on suppose n égal à a et n' égal à a', y^^^' exprimera alors la probabilité de la sortie de toutes les boules blanches restantes dans l'urne avant que toutes les noires aient été épuisées, et son expression se changera en celle-ci

laquelle se réduit elle-même à

La probabilité d'extraire de l'urne la totalité des boules blanches

SUPPLEMENTS. 639

avant celle des noires est donc à la probabilité contraire en raison inverse du nombre des boules blanches à celui des noires.

On arrive à ce dernier résultat, d'une manière extrêmement simple, au moyen des combinaisons; en effet, la probabilité de la sortie de toutes les boules de l'urne, dans un ordre quelconque, par couleur, sera

{X'hx')[x -^x'—i)... 3.^.1 ~ {x^i)...{x-i-x^)'

Mais, pour que les boules blanches sortent en totalité les premières, il faut nécessairement qu'une boule de la couleur noire sorte la dernière : en combinant a?'- i à a?'- i les x-hx'~ i rangs de sortie qui se trouvent avant le dernier, on formera autant de classements différents pour les boules de la couleur noire, et autant d'ordres de sortie par couleur, qui comprendront tous ceux oii une boule noire sort en dernier lieu; or le nombre de ces combinaisons est

et en le multipliant par la probabilité commune à chaque ordre de sortie par couleur, on aura la probabilité cherchée égale à

Remarques sur les fonctions génératrices.

4. Soit u une fonction génératrice à une ou plusieurs variables ; toute équation entre cette fonction et ses variables, linéaire par rapport à u, rationnelle par rapport aux variables, subsistera encore si l'on passe des fonctions génératrices aux coefficients, entre ces mêmes coefficients, et donnera lieu à une équation aux différences partielles ; mais si, dans cette équation aux différences partielles, on repasse des coefficients aux fonctions génératrices, on n'arrivera plus à une équation rigoureusement exacte, à moins qu'on n'y rétablisse en même

temps les fonctions des variables qui ont pu disparaître dans le premier passage. Ainsi, dans une des questions que nous avons traitées plus haut, l'équation aux différences partielles

Zx,x''= mzx-\,x'-^ m' Zx,.f-i + nzx-\,x'-\

donnerait, en remontant simplement des coefficients aux fonctions

génératrices, celle-ci .

u=z mut -\- m' ul' -\- nutl' ,

laquelle n'est point exacte; car il est aisé de voir que, d'après les conditions du problème, il faudrait ajouter au second membre la fonction génératrice de s^,o moins cette même fonction multipliée par m. Cette fonction de /, qu'il est nécessaire de rétablir dans le second membre de l'équation pour la compléter, est précisément la fonction arbitraire que nous avons eu à déterminer dans la solution de cette question. En général, les fonctions à ajouter pour avoir encore une équation dans le passage des coefficients aux fonctions génératrices sont les mêmes que les fonctions arbitraires qui forment le numérateur de la fonction génératrice intégrale, avant qu'elle soit développée.

Faute d'avoir égard à ces fonctions, on peut tomber dans des erreurs graves, en se servant de ce moyen pour intégrer les équations aux différences partielles. Par cette même raison, la marche suivie dans la solution des problèmes des n°^ 8 et 10 du Livre II de la Théorie analytique des Probabilités n'est nullement rigoureuse, et semble impliquer contradiction en ce qu'elle établit une liaison entre les variables qui sont et doivent être toujours indépendantes. Sans entrer dans les considérations particulières qui ont pu la faire réussir ici, et qu'il est aisé de saisir, nous allons faire voir que la méthode d'intégration exposée au commencement de ce Supplément s'applique également à ces questions, et les résout avec non moins de simplicité.

Dans le problème du n° 8, on se propose de déterminer le sort d'un nombre n de joueurs A, B, C, . . . dont p,q,r, ... représentent les probabilités respectives, c'est-à-dire leurs probabilités pour gagner un coup lorsque, pour gagner la partie, il manque x coups au joueur A,

SUPPLEMENTS. Gil

x' coups au joueur B, x" coups au joueur C, etc. En nommant jx,a:>',... la probabilité du joueur A pour gagner la partie, on a l'équation aux différences partielles

.r.C, .c, X". ... = PXx- I , X-, X", ... -<- qy-X, X-^ 1 , .1", ... -+- rjx, X\ .V- !,...+ ...,

qui donne pour j:r,rr>',... cette fonction génératrice

i — pt — qt'—rt" — ...''

dans laquelle P, Q, R, . . . sont autant de fonctions arbitraires des variables t, t\ t", . . . qu'il y a de ces variables, en ne comprenant point / dans la première, ^' dans la deuxième, /"dans la troisième, etc. Or, cette fonction peut être mise sous la forme

P' + Q't^-lVtt'-i-S'tt'r-^...

î—pt — qt'— ri" — si'"—. . . '

P', Q', R', ... étant, comme plus haut, des fonctions arbitraires, la première de toutes les variables à l'exception de /, la deuxième de toutes les variables en exceptant t\ la troisième également de toutes les variables hormis /", et ainsi de suite. Pour les déterminer, nous observerons que, dans ya:,x',x'',...* deux des indices x, x', x", ... ou un plus grand nombre ne peuvent être nuls à la fois, puisque la partie cesse ((uand l'un des joueurs a atteint ses points; de plus, yo,x;x',... est égal à l'unité, quels que soient x', x", . . ,; la fonction génératrice de cette expression, ou celle qui donne l'unité pour le coefficient d'un produit quelconque t"" t'""" t"""" . . . , est

par conséquent, on aura

/' /" t'" P - 7^7 'r=J'' 7:^7^ •••('- 7'' - rr-si"'~ . . .).

OEuvres de L. — VU. 81

Toute valeur de ya;,x',x,... dans laquelle un autre indice que oc est nul étant é^ale à zéro, la fonction génératrice correspondante devient nulle aussi; on aura donc successivement

Q'=o, R'=o, S'=o, Partant, la fonction génératrice de yx,x',x",... sera

i — qf'~ rt"

\ — t' i — t" i—pt — qt' —rt"—..,

et le coefficient de t^, dans le développement de cette fonction par rapport aux puissances de t,

px

i — i'i — t' [\ — qt' — rt' — . . .Y' d'où il est facile de tirer le coefficient de t'^'t'""" . . ., ou

Jx. Xf, X", , .

xix -+- 1) -\ — ^

[q -Hr + ...)2

en ayant soin de rejeter les termes dans lesquels la puissance de q surpasse x'— I, ceux dans lesquels la puissance de r surpasse x"— i, ....

Dans le problème du n° 10, on considère deux joueurs A et B dont les adresses soient/? et q, et dont le premier ait a jetons et le second h jetons; et l'on suppose qu'à chaque coup, celui qui perd donne un jeton à son adversaire, et que la partie ne finisse que lorsqu'un des joueurs aura perdu tous ses jetons. On demande la probabilité que l'un des joueurs, A par exemple, gagnera la partie avant ou au /i'^"^ coup.

En représentant par r^,^' la probabilité de ce joueur pour gagner la partie lorsqu'il a x jetons et lorsqu'il n'a plus que x' coups à jouer

SUPPLEMENTS. 6W

pour atteindre les n coups, on arrive, par les premiers principes des probabilités, à l'équation aux différences partielles

qui donne, pour la fonction génératrice de j^,^-',

qV-V— t-\- pf'

A étant une fonction arbitraire de t. A' et B' deux fonctions arbitraires de t' . Pour les déterminer plus commodément, nous transformerons cette fonction génératrice en celle-ci

qpt' — t-i- pt'

dans laquelle A,, A', et B', sont, comme plus haut, des fonctions arbitraires de t et de t'. Or —- est le coefficient de i" dans le développement

de la fonction par rapport aux puissances de /, ou la fonction génératrice de jo,a;'; mais, par les conditions du problème, yo.x' ^^t nul quel que soit a?'; par conséquent sa fonction génératrice l'est aussi; A', est donc égal à zéro.

Le coefficient de t"^, dans le développement de la fonction génératrice par rapport à t', est —A,, ce qui est en même temps la fonction génératrice de j^^o, quantité qui est nulle tant que oc est moindre que la somme des jetons o\ia -h b, et qui devient l'unité quand .x — a-h b; A, est donc une fonction de t qui a pour facteur t"*'^, et dont on peut ne tenir aucun compte dans le numérateur de la fonction génératrice, car elle ne doit donner que des puissances de t supérieures à t"^'', et nous n'avons en vue que d'avoir une fonction génératrice composée des puissances inférieures de t, puisque x ne peut s'étendre que depuis ^ = o jusqu'à X — a -i- b.

La fonction génératrice de fjcx'f ainsi limitée entre ces valeurs, se

réduit donc à

b; tt'

qVH'— t + pt'^

laquelle on peut mettre aisément sous cette forme

(,Wàli-.)(,W

l ' ^p np

d'où l'on tire, pour le coefficient de ^'"*, l'expression

\pq

{? -^ V-h - ^p^y -{?- sJt^ ~ ^P^

p [ipY+b-^

Mais ce coefficient est la fonction génératrice de ya^-b,xy quantité qui est égale à l'unité; car il est certain que le joueur A a gagné la partie lorsqu'il a gagné tous les jetons de B : de plus, x' doit être ici zéro ou un nombre pair, puisque le nombre de coups dans lesquels A peut gagner la partie est égal à b plus un nombre pair; et, en effet, il doit gagner tous les jetons de B, et encore regagner chaque jeton qu'il a perdu, ce qui exige deux coups. La série

qui représente le coefficient de ^"^*, est donc égale à ' ,.^-, et l'on en conclut

B', [ipY+(>-\ Maintenant le coefficient de /", tiré du développement de la fonc-

SUPPLÉMENTS. 6i5

tioii (II), toujoiii's par rapport aux puissances de /, sera

et en substituant pour -^ sa valeur, on aura ce coefficient ou la fonction génératrice de 7^^^ égale à

ou

ce (fui est la formule (o) de la J/^ebne analytique.