CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES ÉLÉMENTS DES GRANDEURS

1. Les grandeurs, considérées en général, s'expriment communément par les lettres de l'alphabet, et c'est à Viète qu'est due cette notation commode qui transporte à la langue analytique les alphabets des langues connues. L'application que Viète fit de cette notation à la Géométrie, à la théorie des équations et aux sections angulaires, forme une des époques remarquables de l'histoire des Mathématiques. Des signes très simples expriment les corrélations des grandeurs. La position d'une grandeur à la suite d'une autre suffit pour exprimer leur produit. Si ces grandeurs sont la môme, ce produit est le carré ou la seconde puissance de cette grandeur. Mais, au lieu de l'écrire deux t'ois. Descartes imagina de ne l'écrire qu'une fois, en lui donnant le nombre 2 pour exposant, et il exprima les puissances successives, en augmentant successivement cet exposant d'une unité. Cette notation,

OF.uvres de L. — "SW. 1

<;n ne la considérant que comme une manière abrégée de représenter ces puissances, semble peu de chose; mais tel est l'avantage d'une langue bien faite, que ses notations les plus simples sont devenues souvent la source des théories les plus profondes, et c'est ce qui a eu lieu pour les exposants de Descartes. Wallis, qui s'est attaché spécialement à suivre le fil de l'induction et de l'analogie, a été conduit par ce moyen à exprimer les puissances radicales par des exposants fractionnaires; et de même que Descartes exprimait par les exposants 2, 3, ... les puissances secondes, troisièmes, ... d'une grandeur, il exprima ses racines secondes, troisièmes, . . . par les exposants fractionnaires {, j, En général, il exprima par l'exposant — la racine n

d'une grandeur élevée à la puissance m. En effet, suivant la notation de Descartes, cette expression a lieu dans le cas où m est divisible par n, et Wallis, par analogie, l'étendit à tous les cas. Il remarqua ensuite que la multiplication des puissances d'une même grandeur revient à ajouter les exposants de ces puissances, qu'il faut retrancher dans leur division, en sorte que l'exposant n — m indique le quotient de la puissance n d'une grandeur, divisée par sa puissance m; d'où il suit que ce quotient devenant l'unité, lorsque m est égal à n, toute grandeur ayant zéro pour exposant est l'unité même. Si m surpasse n, l'exposant n — m devient négatif, et le quotient devient l'unité divisée par la puissance m — n de la grandeur. Wallis supposa donc généralement que l'exposant négatif — — exprime l'unité divisée par la racine ,^ième (jg \^ grandeur élevée à la puissance 7n.

Ce fut dans son Ouvrage intitulé Arithmetica infinitorum que Wallis exposa ces remarques qui le conduisirent à sommer af, x étant supposé formé d'une infinité d'éléments pris pour unité, ce qui, suivant les notations actuelles, revient à intégrer la difTérentielle^^fi?^. 11 fit

voir que cette intégrale, prise depuis x nul, est > ce qui lui donna

l'intégrale d'une suite formée de différentielles semblables. En considérant ainsi l'intégrale S ^x\\ — oJ') , lorsque n^is sont des nombres