LIVRE PREMIER

entiers, et lorsqu'elle est prise depuis .x nul jusqu'à ^=i, il trouva qu'elle est égale à -, Jj^'3 n — gj j^^ indices n et s sont

fractionnaires et égaux à ^, cette intégrale exprime le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre. Wallis s'attacha donc à interpoler le produit précédent, dans le cas où n et s sont des nombres fractionnaires, problème entièrement nouveau à l'époque où cet illustre géomètre s'en occupa, et qu'il parvint à résoudre par une méthode fort ingénieuse qui contient les germes des théories des interpolations et des intégrales définies, dont les géomètres se sont tant occupés, et qui sont l'objet d'une grande partie de cet Ouvrage. Il obtint de cette manière l'expression du rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre, par un produit d'une infinité de facteurs, qui donne des valeurs de plus en plus approchées de ce rapport, à mesure que l'on considère un plus grand nombre de ces facteurs, résultat l'un des plus singuliers de l'Analyse. Mais il est remarquable que Wallis, qui avait si bien considéré les indices fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances comme on l'avait fait avant lui. On voit la notation des puissances radicales par les exposants fractionnaires employée pour la première fois dans les lettres de Newton à Oldenburg, insérées dans le Commercium epistolicum. En comparant par la voie de l'induction, dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposants des puissances du binôme avec les coefficients des termes de son développement, dans le cas où ces exposants sont des nombres entiers, il détermina la loi de ces coefficients, et il l'étendit, par analogie, aux puissances fractionnaires et aux puissances négatives. Ces divers résultats, fondés sur la notation de Descartes, montrent l'influence d'une notation heureuse sur toute l'Analyse.

Cette notation a encore l'avantage de donner l'idée la plus simple et la plus juste des logarithmes, qui ne sont en effet que les exposants entiers et fractionnaires d'une même grandeur dont les diverses puissances représentent tous les nombres. Mais l'extension la plus importante que cette notation ait reçue est celle des exposants variables, ce

k THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

qui constitue le Calcul exponentiel, l'une des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne. Leibnitz a indiqué le premier, dans les Actes de Leipzig pour 1682, les transcendantes à exposants variables, et par là il a complété le système des éléments dont une fonction finie peut être composée; car toute fonction finie explicite se réduit, en dernière analyse, à des grandeurs simples, ajoutées ou soustraites les unes des autres, multipliées ou divisées entre elles, élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces éléments en sont des fonctions implicites. C'est ainsi que, c étant lo nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, le logarithme de a est la racine de l'équation transcendante c^ — a = o. On peut considérer encore les quantités logarithmiques comme des fonctions exponentielles dont les exposants sont infiniment petits. Ainsi XlogX' est

égal à j-^ — Toutes les modifications de grandeur que l'on peut

concevoir aux exposants se trouvent donc représentées par les quantités exponentielles, algébriques et logarithmiques. Ces quantités et leurs fonctions embrassent, par conséquent, toutes les fonctions finies explicites, et les racines des équations formées de fonctions semblables embrassent toutes les fonctions finies implicites.

Ces quantités sont essentiellement distinctes : l'exponentielle a^, par exemple, ne peut jamais être identique avec une fonction algébrique de ce. Car toute fonction algébrique est réductible dans une série descendante de la forme kx"-^ k'x'^"'^' -\- ... ; or il est facile de démontrer que, a étant supposé plus grand que l'unité et x étant infini, «'■ est infiniment plus grand que kx", quelque grands que l'on suppose k et n. Pareillement, il est aisé de voir que, dans le cas de x infini, x est infiniment plus grand que /c{\ogx)". Les fonctions exponentielles, algébriques et logarithmiques d'une variable indéterminée ne peuvent donc pas rentrer les unes dans les autres; les quantités algébriques tiennent le milieu entre les exponentielles et les logarithmiques, les exposants , lorsque la variable est infinie, pouvant être considérés comme infinis dans les exponentielles, finis dans les quan-