LIVRE PREMIER

(|ui précède, égal à

pourvu qu'après les différentiations on suppose 0 = a dans le premier terme, 0 = %' dans le second terme, 0 = y." dans le troisième terme, etc. S'il n'y a qu'un seul facteur 0 -- a, la fonction renfermée entre les deux

parenthèses se réduit à ^5 6 devant être changé en a après les différentiations, ce qui réduit la quantité [o) à

(__ \s (/^ + ')(^+2](rH-3)...(r+5- ») I ' '^ i.'i/6...{s — i)a' a'-+^

Si dans l'expression de V quelques-uns des facteurs G — oc, 0 - a.', . . . sont élevés à des puissances plus hautes que l'unité; par exemple, si 0 — oc est élevé à la puissance m, il sera élevé à la puissance ~ rm

dans—' et alors il faut changer le premier terme de la quantité [o]

dans le suivant :

i.2.3...(m5-i)a^ rfô^^-i 9'-+'(0 — a')*(9 — a")•^..

et dans les autres termes, il faut changer (0 — a)^ dans (0 — a)"". Représentons généralement par z;f "la quantité (o); le coefficient de 0'

dans le développement de la fraction y ^^ sera

on aura donc, pour le coefficient de G' dans le développement de la

deuxième fraction de la page 19, ou pour la valeur de -.,

— = ôrZ'-"' -4- z7M^ L 727(2) i 73 7(:j> < 1

+ 421^^3 + zz^^^n., + 2=^z^:"3«.3 + ^'z^îU^3 -^ • • •]

c[Zi«

4Zl-U2 + ^Z^i^

z^Z^iil,

I ( 4zi^;^., + zziiu. + ^^z^?u.,

Présentement, si l'on désigne par vjx '^ quantité

«r-i + ^r^+i -»- cja-+2 + . . . + ^jx+«,

par v^ y* ce que devient vjx lorsqu'on y change r^ dans vj*, par V ' J^r ce que devient V" Jx lorsqu'on y change v.7x dans v^y^r» et ainsi de suite, il est visihle, par le n** 2, que le coefficient de t^ dans le déve-

loppement de --- sera v^y^+r'^ en multipliant donc l'équation précédente par u et en ne considérant dans chaque terme que le coefficient de /^, c'est-à-dire en repassant des fonctions génératrices aux coefficients, on aura