LIVRE PREMIER
Cette formule servira à interpoler les suites dont la dernière raison des termes est celle d'une suite récurrente ; car il est clair que, dans ce cas, VJa-> V^Jx. • • • vont toujours en diminuant et finissent par être nuls dans l'infini.
6. La formule (B) s'arrête lorsque l'on a v'^Jx — o,r étant un nombre entier positif quelconque, et alors l'expression précédente de y^+i devient l'intégrale de l'équation aux différences finies Yyi= o, ce qui est analogue à ce qu'on a vu dans le n° 3, relativement à l'équation A''/, = o. Supposons vj/ = o, ou, ce qui revient au même,
o =z aji + bfi+i + cyt+i + . . . + q^i+n ;
si l'on fait x nul dans la formule (B) du numéro précédent, elle devient
ri = MbZ\'-}n-.^ + czi.«u, + eZ^-«'„,3 -h . . . + ^Zi-o')
Jo» Ji» J2J •••» J/z-i sont les n premières valeurs de j,; ce sont les Ai constantes arbitraires que l'intégrale de l'équation vj, = o introduit. La valeur de Z\^\+^ est égale à
aa'-«-*-^(a — a'J(a — a"j... aa''-«-^=* (a' - a){a — a"). . .
Ainsi, V étant égal à a(B — a)(6 — a') (6 — a"), . . ., le premier de ces termes devient
pourvu que l'on cbange ô en a dans ^; en n'ayant donc égard qu'au
OEiivres de L. — VII. 4
terme multiplié par —.•> l'expression précédente de j, deviendra
d\ l -h fo[ecx'^-^-r ■ . . -^ qa-
del H
En changeant successivement, dans le second membre de cette équation, a en a', a", . . . , et réciproquement, on aura autant de termes qui, ajoutés au précédent, formeront l'expression complète de j^.
Nommons^ la fonction comprise entre les deux parenthèses, en sorte
If que ce second membre soit jy- Si les deux racines a et a' sont
dd
égales, V sera de cette forme (0 — v^fL. On supposera que a et a', au
lieu d'être rigoureusement égaux, différent infiniment peu, et que l'on a
a' = a 4- doL. Alors la somme des deux termes de /, relatifs aux racines
a et a' sera
__ I / k^ Je
Â' étant ce que devient^ lorsqu'on y change a en oc'; L et L' étant ici ce que devient L lorsqu'on y change Q en a et a . Cette quantité est donc égale à
mais on a
\ — lé'l
0 devant être changé en a après les différentiations. La somme des termes de l'expression de 7,, relatifs aux deux racines égales, est donc
du t;. f/n'
de-'
