dcc^ ". J»V

et ainsi de suite. ZJ"' étant, par ce qui précède, le coefficient de 6' dans le développement de ;^) il en résulte que j, est le coefficient de 6' dans le développement de la fonction

■Xn-^\qQ'

Cette fonction est donc la fonction génératrice de j^- ou de la variable principale de l'équation aux différences vj^ = o. La formule (B) du numéro précédent donnera pareillement la valeur de j, ou l'intégrale complète de l'équation aux différences v^J<= o; j"» VJo» JKi» • • » fn-n VJrt-i seront les 2.n arbitraires de cette intégrale. Le cas des racines égales se résoudra de la même manière que ci-dessus. On aura par la même formule l'intégrale des équations aux différences y'j,r=o, \*y^= o, . . . , ce qui montre l'analogie qui existe entre l'interpolation des suites et l'intégration des équations aux différences.

Soit yi = y'i -r-y"p et supposons que u' soit la fonction génératrice de y'-, et u" celle de y], u étant celle de y, ; on aura u = u' ^ u". Soit encore

z ayant la signification que nous lui avons donnée dans le n° 5, et nommons X^ le coefficient de t' dans le développement de >.; on aura, par le n" 2,

Maintenant on a, par le n" 5,

or le coefficient de t', dans le développement du second membre de cette équation, est égal à celui de ¥~"' dans le développement de

et, par le numéro précédent, ce coefficient est égal kZfsJJ; donc le coefficient de t' dans le développement de - sera

X,-;„ Z'o^-' ' + X,-„, , Zr' ' + \i.ns-2 Z^ " H- . . . + Xo z^!j

ou iXr'^'fSnJ^ry l'intégrale étant prise relativement à /•, depuis a = o jusqu'à r=i— ns; ce sera la valeur de y]. Cela posé, si dans la formule (B) du numéro précédent on suppose V^yi= o, elle donnera, en observant que yi = y'^ + y],

r\ + 2x.zf-v, =ro [hi?Jn.^ -*- czi«u. + • • • + q^?' ) -

i-sn+n

+ v-«jo(6zrA, -1- czr,;,u + • • • + ^z H-Vr,(cZi-i'2«,.,4-... + çz,-„,)

+ gzy-,V+,v^-'r«^,

Vo, VVo. • • •> V^~' Jo» Jo ^fif • • • étant les ns arbitraires de l'intégrale de l'équation V^j/= o ou

or, V^j]- étant égale à X,, cette équation devient