e'AZi.%„ + e'zAZi.l',„.,-f

Présentement il est clair, par le n*^ 2, que le coefficient de f" dans le développement de la fonction ~ est A^'V^j^.; l'équation précédente donnera donc, en multipliant ses deux membres par u et repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients,

rx-,i =r.[6'zi»u. + c' Azi-%^, + e' A2z;,«u. -^ • • • + ^ a«-' zi«'„^, ]

+ V r^(6'Zi.i',„,, -F-c'AZir,,,, + e'A^Zi-i'.^,, +. . . + ^A«-<Z1-1',„, + '^■'rAb'^?-\n^^ + c'AZ,^i'3„^, + e'A2Z,.!'3,,„ + . . . -f- g A«-< ZPJ,

+ A7^ (c'Zi»U, H-e'AZl-«'„^, +... + ^A«-2Zl.^ -+- AV:r.. (c'Zli!,,,^, -,- e'AZil'a^^, -(-... + g A«-2Z}^j,^^, ) + AV=j.(c'Z<.i'3«.,4- e'AZi-i',,,, +. . . -^7A«-=^ZpJ3«.,) -h

+ 7Zi-L. A"-' j,+ gZ;-'.U+, A«- Vj,+ ^Z<-!'3^„ A-' VY.-+- . . .,

la caractéristique y se rapportant à la variable ^r, et la caractéristique A se rapportant aux deux variables x et i.

8. Supposons, dans la formule précédente, x et i infiniment grands, de manière que l'on ait

X' GT

dx' dx'

y^u deviendra une fonction de ct + x\ fonction que nous désignerons

par ç(cy H- ^'). Supposons, de plus.

^^dx" ''=d^^' ■■■' ^-rf^'

'équation

deviendra

b" (\ \ c" il \2 q" /r

Cette dernière équation donne, pour 6 — i, n racines /rf^', f dx' , f'dx, . . . , et par conséquent, pour 0, les n valeurs

e = i-\-fdx', d = i-\~fdx', 9 = i-hf"dx',

Maintenant, si l'on suppose ^ = i-hhdx\ on aura, i étant supposé infini,

^. = l-r-rr- = ' - ià dx' -h -^' h^ dx'^-...= c^x'

0' [\-\-hdx'Y 1.2

c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. D'ailleurs la quantité a est , par le numéro précédent, égale à a' — è' -f- c' — . . . ,

et par conséquent égale \ a!' ~ ~, — }- , . . ± ^^, valeur qui se réduit

à son dernier terme, qui surpasse infiniment les autres; l'expression de Z^f " du n° 5 devient, en y changeant r dans / — i ,