LIVRE PREMIER

Relativement à l'équation aux différences partielles du premier ordre

O = Aji,j:'+ RjV+J..r' -'r-Byi^.v'+l,

on a

on a de plu:

ce qui donne

Z(p,^fA + R'.]'-

d'où l'on tire cette équation différentielle

as '

ce qui donne l'équation aux différences finies

o = ( r + I ) A^-+i — ( / — r) R' ),■ ; on a ensuite

M('-)=Blr.

La formule (1) du numéro précédent deviendra donc

l'intégrale finie étant prise depuis r= o jusqu'à / = i. C'est l'intégrale complète de l'équation précédente aux différences partielles du premier ordre.

L'équation aux différences en V donne en l'intégrant

^ Hi(/-i)(/— 2)...(/-r-f-i) R''i.2.3...r A''

H étant une constante arbitraire, et le dénominateur étant l'unité lorsque rest nul. Pour déterminer cette constante, on observera que le

coefficient indépendant de -, dans Zj"' est — -, — ^^t:;', c'est la valeur de

>.(, et par conséquent de H; on aura donc

En passant du fini à l'infiniment petit, la méthode précédente donnera l'intégrale des équations linéaires aux différences infiniment petites partielles dont les coefficients sont constants : i" en intégrant une équation linéaire aux différences infiniment petites; s'* au moyen d'une intégrale définie. Mais ce n'est pas ici le lieu de m'étendre sur cet objet que j'ai considéré ailleurs avec étendue.

On doit faire ici une remarque importante, relative au nombre des fonctions arbitraires que renferme l'expression générale de j,,^-. Ce nombre, dans la formule (X) du numéro précédent, est égal à n\ mais il devient plus petit dans le cas où, la valeur de :; du n'' 13 ne renfermant que des puissances de ~ moindres que z^, la plus haute puissance n' de 7 a un coefficient constant ou indépendant de y- Alors, en suivant l'analyse précédente et déterminant à son moyen la valeur de -,— ; comme nous avons déterminé celle de j.^ en repassant ensuite des fonctions génératrices à leurs coefficients, on parviendra à une formule analogue à la formule (X); seulement, l'intégrale définie, au lieu de s'étendre jusqu'à r= i+ i devra s'étendre jusqu'à r = x' -^ i. Cette nouvelle expression A^ji^^ne dépendra plus que des n' fonctions arbitraires j,,o» J/,o Ji.2» . • . , J,>-,, et tandis que la première suppose la connaissance des n premiers rangs verticaux de la Table (Q) du n" 14, celle-ci n'exige que la connaissance des n' premiers rangs horizontaux delà même Table. Ainsi les /i fonctions arbitraires jo.x» Ji,arsV2 x-, ..., yn-\,x' de la formule (X) n'équivalent qu'à /l' fonctions arbitraires distinctes. En effet, l'équation proposée aux différences partielles donne yi,n au moyen des valeurs de 7,±;..o, J,±r,<» .••, J/±/-,«'-o r étant un nombre entier. Elle donne pareillement 7/,„'+, au moyen de yi±r,o^ Ji±/-,n '• '■> yi±r.jii et éliminant jz-t;.^,/ au moyen de son expression, on a yi,n'+i au moyen de j/±^o, ^±^,,, ..., j,±^,„'-,. En continuant ainsi, on