LIVRE PREMIER

suivant les puissances de -7; en changeant donc, dans cette dernière

quantité, -, en/;, et nommant P ce qu'elle devient alors, on aura AP/?*',

pour la partie dej,,^;' qui répond au terme kp"^'. Il suit de là que, si la valeur de y^,^' est égale à A/?^'h- Ay^'+ Ay^'4- . . . , et que l'on nomme P', P", ... ce que devient P, en y changeant p dans/>', p", ..., on aura, pour la partie correspondante de j/^^:',

kVp^' 4- A' V'p'^' + K"V"p"^' H- . . . .

On trouvera pareillement que, si la valeur de 7,,^' est exprimée par 'Qq'^' + Wq"^'-\-Wq"^'-\- ... et si l'on nomme Q, Q', Q", ... ce que devient la quantité

lorsqu'on y change successivement y, en q, q' , q'\ . . . , la partie corres^ pondante de j^.^- sera

et ainsi de suite. La réunion de tous ces termes donnera l'expression de V/,^' la plus simple à laquelle on puisse parvenir.

15. La valeur de y,,^' donnée par la formule (X) du numéro précédent dépendant de la connaissance de W"^^ Mf , ..., il est visihle

que ces quantités seront connues, lorsque l'on aura le coefficient de ~

dans le développement de Z;."'; tout se réduit donc à déterminer ce coefficient. On a, par le n° 5,

aa''+'(a'— a)

a al' i-^' [a!'— a

Œuvres de L. — VU.

a, a', a", . . . étant fonctions de -, • Si l'on fait - = s, et que l'on diffé-

rentie l'expression précédente de Z["', n fois de suite par rapport à s, on aura, avec l'équation précédente, n -h i équations, au moyen desquelles, en éliminant les puissances indéterminées -^:^?-7^q:; 7 -ûj^r^^ •••,

on parviendra à une équation linéaire entre T}f\ —7—' ~~7pr'> • • •' ^'^"^ les coefficients seront fonctions de a, a', a", ... et de leurs différentielles prises par rapport à 5; or il est clair que a, a', a", .. . doivent entrer de la même manière dans ces coefficients, que l'on pourra ainsi obtenir en fonctions rationnelles et entières des coefficients de l'équation qui donne les valeurs de a, a', a", ... et des différences de ces coefficients, et par conséquent en fonctions rationnelles de s. En faisant ensuite disparaître les dénominateurs de ces fonctions, on aura une équation linéaire entre ZJ"' et ses différentielles, équation dont les coefficients seront des fonctions rationnelles et entières de s. Cela posé, considérons un terme quelconque de cette équation, tel que hs"' —^~-> et nommons V le coefficient de -!;dans le développement de ZJ*" suivant les puissances de ^3 ce coefficient dans le développement de ks —j-^ sera

A- ( r + jtz — m ) ( r + f/. — m — I j ( r + p. — m — 2 ) . . . ( /■ — /n 4- I ) \r^^^-nl.

En repassant ainsi des fonctions génératrices à leurs coefficients, l'équation entre Z^*" et ses différences donnera une équation entre \, 1,.+^ ... dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de r et dont l'intégrale sera la valeur de V-

Il suit de là que l'intégration de toute équation linéaire aux différences finies partielles, dont les coefficients sont constants, dépend : i*' de l'intégration d'une équation linéaire aux différences finies dont les coefficients sont variables; 2*^ d'une intégrale définie. L'intégrale définie dont dépend lavaleurde j, ,5' dans la formule ()^) est relative à r, et doit s'étendre jusqu'à r = i -1- i .