I . c -\- ab

partant

Pour repasser maintenant des fonctions génératrices aux coefficients, nous observerons: 1° que le coefficient de/'' i» dans ,yT^Q^iyjr,x\ 2" que

ce même coefficient, dans un terme quelconque, tel que iil~ — b

ou "^M^ ~" V ' ^^' ^^ '^{J^)' ^^ caractéristique 'A des différences se rapportant à la variabilité de x', et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations; 3^ que ce coefficient dans

" \J ~ ^) ^^^ ^'^'^ \^ ) ' ^^ caractéristique A se rapportant à la variabilité de X, et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations; on aura donc, avec ces conditions,

+ __« v^-'-o A fe«\ + """ V(-'-^) A=^ i^'^ +

c^ab \ a*^ I [c + aby^ \ a-^' )

[c-i-ab)-^ \ a-»' j '

c'est l'intégrale complète de l'équation {b) aux différences partielles. Il est clair que cette intégrale suppose que l'on connaît le premier rang horizontal et le premier rang vertical de la Table (Q) du n° 14.

17. L'expression précédente de j^,^- offre cela de remarquable, savoir que les caractéristiques A et 'A des différences finies ont pour exposants les variables x etx\ En voici un autre exemple. Considérons l'équation aux différences partielles

O = A«Jx,.r' + - A«-' 'Afx.x'-h — A«-2 'Ajx .r' + . . . ,

la caractéristique A se rapportant à la variable ^dont l'unité est la différence, et la caractéristique 'A se rapportant à la variable x' dont a est la différence. L'équation génératrice correspondante sera, par le numéro précédent,