LIVRE PREMIER

Cette équation donne les n suivantes :

</, q\ q" , . . . étant les n racines de l'équation o = z"~ az"-^ + bz"--~.

L'équation donne

En repassant des fonctions génératrices aux coefficients, on aura Le second membre de cette équation peut être mis sous la forme

En désignant donc par la fonction arbitraire cp(^'') la quantité

: ) Xo,x'» l'expression de j^.,^- deviendra

OEiH-res de L. — VU.

Celte valeur satisfait donc k l'équation proposée aux différences partielles. 11 est visible que chacune des racines q', q", . . . fournit une valeur semblable, dans laquelle on peut introduire une autre arbitraire. Nous désignerons par 9,(0?'), (p2(£c'), . . . ces nouvelles arbitraires. La réunion de toutes ces valeurs satisfera à l'équation proposée, parce qu'elle est linéaire, et cette réunion en sera l'intégrale complète, qui est ainsi

1+-,] ^'(-^1 '\^oAx'] -+■ . .

qj \ a ' ■ -^ '

Si l'on suppose a infiniment petit et égal à dx'; si l'on observe d'ailleurs que

comme il est facile de s'en convaincre, en prenant les logarithmes de chaque membre de cette équation, on aura

c'est l'intégrale complète de l'équation aux différences partielles finies et infiniment petites

Toutes les équations aux différences partielles que nous avons examinées jusqu'ici n'ont point de dernier terme indépendant de la variable principale. Si elles en avaient, on y aurait égard, et l'on intégrerait ces équations par la méthode que nous avons donnée pour cet objet, relativement aux équations aux simples différences, et qu'il est facile d'appliquer aux équations à différences partielles.