LIVRE PREMIER
Théorèmes sur le développement en séries des fonctions de plusieurs variables.
18. Si l'on applique aux fonctions de plusieurs variables la méthode du n^ 11, on aura sur le développement de ces fonctions en séries des théorèmes analogues à ceux du n« 10. Considérons la fonction génératrice u Ij^ i j", et donnons-lui cette forme
u étant supposé une fonction de t, t', t", ..., dans le développement de laquelle j^,^',^",... est le coefficient de f^ t'^' t"^" . . . . Ce coefficient
dans le développement de u\~~^, Tj"sera A'^,^;^-.., x, x',
x", ... étant supposés varier de l'unité dans y^^^- ,^' . . Ce même coefficient, dans le développement de la fonction génératrice
sera
les caractéristiques 'A, "A, "A, ... se rapportant respectivement aux variables x, x', x", ... ; on aura donc, en repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients,
A«Ja:.x',^',...
= [('+'Ar-r.x',a:"....)(l+"Arx..r',x"...,)(l+"'Aj^,^.„r"....)...-l]«,
pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique aux caractéristiques 'A, "A, ... les exposants des puissances de 'Ajx,^',^'...., "^yx,x,x\...^ ....
En changeant /î dans — n, la même équation subsiste encore, pourvu que l'on change, comme dans les n"'* 10 et 11, les caractéristiques A, 'A, "A, ..., lorsqu'elles ont un exposant négatif, en intégrales finies
68 THEORIE AxNALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
correspondantes, les signes 1, '1, ''2, . . . étant les caractéristiques des intégrales, correspondantes aux caractéristiques A, 'A, "A, . . . des différences.
Il est clair que u ijijri,y?w i j'est la fonction génératrice de la
différence finie /^'^'"^ de j^,^,^',... , x variant de i, x' variant de i' , x" variant de i' , .... Or on a
tivi't""'... / ~ \ ' t y \ /' y \ t"
en désignant donc par A la caractéristique des différences, lorsque x varie de i, x' de i' , x" de i", ..., et par 2 la caractéristique intégrale correspondante, on aura
«rx,x',.r", ,., = [( 1+ '^yx.x■,x". ,..)'■ (1+ "^rx,x'.x", ..,)''...- 1]«,
pourvu que, dans le développement du second membre de ces équations, on applique aux caractéristiques 'A, "A, ... les exposants des puissances de '^yx,x',x",...'> "^yx,x,x",...-> •••» et que l'on change les différences négatives en intégrales. On peut ainsi se dispenser d'indiquer les arbitraires que l'intégrale finie 2" doit introduire, parce qu'elles sont censées renfermées dans les intégrales que donne le développement de son expression.
Les deux équations précédentes ont encore lieu en supposant que dans les différences 'Aj^^' a;",... , "i^yx,x',x"....'> -- ••, x, x\ x", . . ., au lieu de varier de l'unité, varient d'une quantité quelconque tj, pourvu que, dans la différence Aj^,^',^"^... , x varie de m, x' de i'zj, x" de i"cT, — Maintenant, si l'on suppose cr infiniment petit, les différences '^yx.x.x",...^ "^yx.x,x\...y ...se changeront, la première dans dx --—-—-•> la seconde dans dx' -^j^", — De plus, si l'on fait î, i', i", ... infiniment grands, et tels que l'on ait
i dx =z X, i' dx'
