LIVRE PREMIER
A, B, C, . . . , H étant des constantes arbitraires. En effet, si l'on compare cette fonction à celle-ci,
on aura, en faisant disparaître le dénominateur et en vertu de l'équation aux différences en j^.,
A + B? + C/2 + . . . + Hp-' = ^«-'(6jo-+- cy^ -{-...)
+ ^«-2(cjo + ej, +. . .)
en égalant ensuite les puissances homogènes de t, on aura les valeurs de A, B, C, ... au moyen des n valeurs jo> Ji> • • • » J«-n o" a^ï'îi donc ainsi la fonction génératrice de y^.
Si l'on suppose 2'jj. = j^, on aura y^. = A'j^, et alors l'équation
O = aXx + ^J.r+i + CXx+2 + . . . + gxx+n
devient
o = a^ix'^ + h^irx+^ +... + gA'r'x-^n,
ce qui donne, en intégrant,
afx + h'x+, + . • . + qXx+n = M^'-« + N^'-2 + . . . ,
M, N, ... étant des constantes arbitraires. Par le n'' 2, u étant la fonction génératrice de y^, celle de j!^ est
la fonction génératrice de jr'^. ou de la quantité donnée par l'équation précédente en j^ est donc
(A+ Bt + Ct'^ + ...-h}lt"-*)t'-h{k't^~*-{-B't'-^-h...)[at"-hbt"-' -+■ ...-hq) (i— /)'(a/«+ 6/«-' + cfn-2-+.. ..-+- pt-hg)
Concevons maintenant que a, b,c, ... soient des fonctions rationnelles et entières de t' de l'ordre n, et que A, B, C, ... soient des fonctions arbitraires de la même quantité ; y^ sera fonction de x et de /'.
OEuvres de L. — VU. 11
En la développant par rapport aux puissances de t' , nous nommerons j-j.,j. le coefficient de t'"" dans ce développement. Gela posé, si l'on suppose
l'équation différentielle précédente en j^ donnera, en comparant les coefficients de la puissance t'-^'^", l'équation suivante aux différences partielles en /j.,x »
o = a'fjc^x' -+- b' fx.x + s + c' Xx,jc'+2 -+-...' -f- a"xx+ 1 , X- + b" yx+-i , X + ) + . • .
4- . . . ; la fonction génératrice de la variable y^,^;' de cette équation sera donc
A, B, G, . . . étant des fonctions arbitraires de t\ elles donneront, par leur développement, les fonctions arbitraires qui doivent entrer dans l'expression dey^,^ .
On peut encore déterminer les fonctions génératrices des équations aux différences finies, dans lesquelles les coefficients sont variables. Gonsidérons pour cela l'équation aux différences
' o ::-- a y-x+b yx+\ + c /.r+a + . • + ^ fx+n -i-x [a' Xx-^ b' Xx+i 4- c'y-x+i + . . . + ^' yx+n ) + x^{a"yx + b"yx^^ + c"yx+^. -f- . . . -h q"yx^n )
