LIVRE PREMIER

Si l'on nomme u la fonction génératrice de y^., on aura, en vertu de l'équation précédente,

' = A + R; + Cf2^. . .H-H/«-',

A, B, C, ..., H étant des constantes arbitraires, qui dépendent des valeurs àey„y^,y.„ ...,7„,. En effet, si l'on substitue dans cette équation la valeur précédente de u en série, on voit qu'en vertu de l'équation différentielle proposée, tous les coefficients de la même puissance de t disparaissent lorsque cette puissance est égale ou plus grande que n, et la comparaison des puissances inférieures donne un nombre ji d'équations, qui déterminent les constantes A, B, C, ..., au moyen des valeurs Jo, j, , . . . , j„, .

L'équation différentielle précédente n'est intégrable généralement que dans le cas où elle est du premier ordre, et alors les coefficients de l'équation aux différences finies en y^ ne renferment que la première puissance de ^; dans ce dernier cas, on peut obtenir la fonction génératrice u par des quadratures.

21. La connaissance des fonctions génératrices des équations différentielles donne l'expression des intégrales de ces équations au moyen de quadratures définies. Reprenons, pour cela, l'équation

" = jo + ji ^ + jo /- -f- . . . -f- j.r t*^ + j,,.+, /■^■+' + . . . + j^ /^

Substituons dans ses deux membres c^^\f^ au lieu de f, c étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, et nommons U ce que devient alors u. En multipliant l'équation par

Sk THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

c^^\/~i djz et intégrant, on aura

l' y. /^— XCT V^4 y, /j— (-*^~OctV-T +. . ]

Si l'on substitue, pour c*'^\/-' , sa valeur cosrcj ± \J — i sinrcr, et si l'on prend l'intégrale depuis w = — 77 jusqu'à ci = 77, 27: étant la circonférence, le second membre se réduit à 2~y^; on a donc

rx= — ru dmicosxrs — J— i sina;s5);

mais cette formule a l'inconvénient d'introduire des imaginaires dont on peut se débarrasser de la manière suivante. Considérons l'équation

+ X ( a'fx + b'fx+ 1 + . . . + q'fx+n ) ,

et supposons

J^ = //-^-<Trf^

T étant une fonction de t qu'il s'agit de déterminer, ainsi que les limites de l'intégrale. En substituant pour j^ cette valeur dans l'équation différentielle en y.^, et observant que l'on a

ce qui fait disparaître le coefficient variable x, on aura En égalant à zéro la partie sous le signe /, on aura