LIVRE PREMIER

indiqués par les événements approche de la certitude à mesure que les événements se multiplient, lois dont la connaissance est l'un des objets les plus intéressants de la théorie des probabilités. Ce fut à l'occasion d'un problème de ce genre, dont la solution dépendait de l'expression du terme moyen du binôme élevé à une grande puissance, que Stirling transforma cette expression dans une série très convergente ; son résultat peut être regardé comme une des choses les plus ingénieuses que l'on ait trouvées sur les suites. Il est surtout remarquable en ce que, dans une recherche qui semble n'admettre que des quantités algébriques, il introduit une quantité transcendante, savoir la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre. Mais la méthode de Stirling, fondée sur un théorème de Wallis et sur l'interpolation des suites, laissait à désirer une méthode directe qui s'étendît à toutes les fonctions composées d'un grand nombre de termes et de facteurs. Telle est la méthode dont je viens de parler, et que j'ai donnée d'abord dans les Mémoires de l' Académie des Sciences pour l'année 1778 et ensuite, avec plus d'étendue, dans les Mémoires de la même Académie pour l'année 1782. Le développement de cette méthode va être l'objet de la seconde Partie de ce Livre, et complétera ainsi le Calcul des fonctions génératrices.

Les séries auxquelles cette méthode conduit renferment le plus souvent la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre, et c'est la raison pour laquelle Stirling l'a rencontrée dans le cas particulier qu'il a considéré; mais quelquefois elles dépendent d'autres transcendantes dont le nombre est infini.

Les limites des intégrales définies que cette méthode réduit en séries convergentes sont, comme on vient de le voir, données par les racines d'une équation que l'on peut nommer équation des limites. Mais une remarque très importante dans cette analyse, et qui permet de l'étendre aux fonctions que la Théorie des Probabilités présente le plus souvent, est que les séries auxquelles on parvient ont également lieu dans le cas même où, par des changements de signe dans les coefficients de l'équation des limites, ses racines deviennent imaginaires. Ces pas-

sages du positif au négatif, et du réel à l'imaginaire, dont les premières applications ont paru, si je ne me trompe, dans les Mémoires cités, m'ont conduit, dans ces Mémoires, aux valeurs de plusieurs intégrales définies, qui offrent cela de remarquable, savoir qu'elles dépendent à la fois de ces deux transcendantes, le rapport de la circonférence au diamètre et le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. On peut donc considérer ces passages comme des moyens de découvertes, pareils à l'induction dont les géomètres font depuis longtemps usage. Mais ces moyens, quoique employés avec beaucoup de précautions et de réserve, laissent toujours à désirer des démonstrations de leurs résultats. Leur rapprochement des méthodes directes servant à les confirmer et à faire voir la grande généralité de l'analyse, et pouvant par cette raison intéresser les géomètres, j'ai insisté particulièrement sur ces passages qu'Euler considérait en même temps que moi, et dont il a fait plusieurs applications curieuses, mais qui n'ont paru que depuis la publication des Mémoires cités.