LIVRE PREMIER

Cette équation intégrée donne T en fonction de t. Elle est la même que l'équation différentielle en u du numéro précédent, en négligeant dans celle-ci le terme indépendant de u. La valeur de T est donc la partie de u qui est indépendante de ce terme.

Pour avoir les limites de l'intégrale fr-^^^Tclt, on égalera à zéro la partie hors du signe / dans l'équation {h), ce qui donne

Cette équation est satisfaite en supposante infini, et en le supposant égal à l'une des racines de l'équation

on aura ainsi ^ + I limites de l'intégrale /r^^'T^/e; en multipliant ensuite chaque intégrale, comprise entre une de ces limites et les n autres limites, par une constante arbitraire, la somme de ces produits sera la valeur complète de j^.

On peut étendre cette méthode aux équations à différences partielles finies et infiniment petites, comme nous le ferons voir dans la seconde partie de ce Livre.

On voit, par ce qui précède, l'analogie qui existe entre les fonctions génératrices des variables et les intégrales définies au moyen desquelles ces variables peuvent être exprimées. Pour la rendre encore plus sensible, considérons l'équation

T étant une fonction de t, et l'intégrale étant prise dans des limites déterminées. On aura, x variant de a,

et, généralement.

en faisant i négatif, la caractéristique A se change dans le signe intégral 1. Si l'on suppose a infiniment petit et égal à dx, on aura

±=i + dx\o^~

on aura donc, en observant qu'alors A'j^ se change dans d'y^,

ï=/Trf.(-(logi)''.

d'Yx dxi

On trouvera de la même manière, et en adoptant les dénominations du n° 2,

v'j..jT«f//-^(^«+|+...+i-y.

Ainsi la même analyse, qui donne les fonctions génératrices des dérivées successives des variables, donne les fonctions, sous le signe f, des intégrales définies qui expriment ces dérivées. La caractéristique v' n'exprime, à proprement parler, qu'un nombre / d'opérations consécutives: la considération des fonctions génératrices réduit ces opérations à des élévations d'un polynôme à ses diverses puissances, et la considération des intégrales définies donne directement l'expression <1^ V'ja;» d^ns le cas même où l'on supposerait i un nombre fractionnaire.

Mais le grand avantage de cette transformation des expressions analytiques en intégrales définies est de fournir une approximation aussi commode que convergente de ces expressions, lorsqu'elles sont formées d'un grand nombre de termes et de facteurs; c'est ce qui a lieu dans la théorie des probabilités, quand le nombre des événements que l'on considère est très grand. Alors le calcul numérique des résultats auxquels on est conduit par la solution des problèmes devient impraticable, et il est indispensable d'avoir pour ce calcul une méthode d'approximation d'autant plus convergente que ces résultats sont plus compliqués.

Leur expression en intégrales définies procure cet avantage, et celui de donner les lois suivant lesquelles la probabilité des résultats