LIVRE PREMIER

la formule (B) du numéro précédent deviendra

( I </2/u2'+' 'îi + i rf'"U»'+» I

,. ^2/-2U2j-l 2i — I rt" -U^'-J j

^ ^2T3'('2/-'2)C^^-''-2 "^ ÏT" r2.3...(4i^^y^i'"-2 f^

[ "^ ' 4^2 I.2.3./.(6r-5'.)fi?;c3'-2 ' ••• '

Cette formule est la somme d'un nombre i de suites différentes, dé-

croissantes comme les puissances de a, puisque U est de l'ordre «", et multipliées respectivement par les transcendantes k, k'^\ . . . , qu'il est, par conséquent, important de connaître; mais il suffit pour cela d'en connaître un nombre égal au plus grand nombre entier compris dans -• Considérons pour cela la double intégrale

ffds dx c-^('+-^"),

les intégrales étant prises depuis ^ et a; nuls jusqu'à leurs valeurs infinies. En l'intégrant d'abord par rapport à s, elle se réduit k

dx

n sm n

mais cette dernière intégrale est — ^^;' n étant un nombre quelconque

entier ou fractionnaire; on a donc

ffds dx c-*(»+'"> = — '^—

n sin

Intégrons maintenant cette double intégrale, d'abord par rapport à x.

En faisant ^^" = /«, elle devient

s" et si l'on fait s = t", on aura

nfdtc '"ff^di c-'"= — ?- ,

n sin -

les intégrales étant prises depuis / nul jusqu'à t infini. Si l'on change n en — ^ -, cette équation devient

sin 7r

et si dans cette nouvelle équation on change / en f-\ on aura

(T) n'^Jt'-^dlc-"'ft--'dtc-'''= -__ -"L-^.

sin t:

On aura, au moyen de cette formule, en y faisant n= 'li, toutes les valeurs de k, ¥^\ ..., F-*\ lorsque l'on en connaîtra la moitié, si i est pair, ou la moitié moins un demi, si i est impair.

En faisant n — i et r=2, cette formule donne ce résultat remarquable

Sdtc-" = ^^4^.

25. On peut, en vertu de la généralité de l'analyse, étendre les résultats précédents au cas où /est imaginaire. Considérons l'intégrale fax cosrajc-"'"', prise depuis ^ nul jusqu'à x infini. On peut la mettre sous cette forme

L'intégrale fax c-^'-^'+W^ est égale à

c ''"'fdxc ^"'^ 2« V ^