LIVRE PREMIER

Si l'on fait

rJ — I / = ax -

2a elle devient

rsj— I

ici l'intégrale relative à t doit être prise depuis t — \ jusqu'à t

infini, parce que ces deux limites répondent à x nul et à a; infini.

En faisant r négatif dans cette formule, on aura l'expression de l'intégrale /f/o^c^"''^'"'"-^^'; mais, dans ce cas, les limites de l'intégrale relative à / sont t = '^^^ et t infini; la réunion de ces deux intégrales ia

est donc égale à

e fdtc-''-,

l'intégrale étant prise depuis t — — ^ jusqu'à t = y:> ; car la première intégrale ajoute à la seconde ce qui lui manque pour former la moitié de l'intégrale prise entre les deux limites infinies; or cette dernière in-

iL

téffrale est ~: on a donc

^ ia

L'analyse qui vient de nous conduire à ce résultat est fondée sur le passage du réel à l'imaginaire; car on y traite les intégrales relatives à / et prises entre deux limites, dont une est imaginaire et l'autre est infinie, comme si ces limites étaient toutes réelles. Mais on peut parvenir à ce résultat de la manière suivante.

Nommons j l'intégrale /t/xcosro^.c"'-^', prise depuis^ nul jusqu'au? infini; on aura

dy I ''

-f r=z— Çx dx€vs\rx .c "^''' = — -sin r.r.c""'-^' r fdxcosrx.c "'■^';

OEuvres de L. — \U. 13

on aura donc, en prenant l'intégrale depuis x nul jusqu'à x infini,

dr r

dr ^a-"^

L'intégrale de cette équation est

B étant une constante arbitraire que l'on déterminera en observant que, r étant nul, on a

Cette dernière intégrale est, par le numéro précédent, — ; donc D — — ; par conséquent

ce qui est conforme au résultat trouvé ci-dessus par le passage du réel à l'imaginaire.

En différentiant 2/1 fois par rapport à r, on aura

i/îr d'^" — — fx^-ft dx ces rx c- "'■^■' = ± ^ —- c '"%

le signe -t- ayant lieu si n est pair, et le signe — si ii est impair. Cette dernière équation, différentiée par rapport à r, donne

En intégrant une fois par rapport à r l'expression de /6?a?cosrj?.c~"'^',

// ^' — C *"', prise depuis rnul, devient ^\/-; donc

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